二次根式的概念
一般地，形如√a的代數式叫做二次根式，其中a 叫做被開方數。
當a≥0時，√a表示a的算術平方根。
二次根式有意義的條件
被開方數是非負數。
※平方數與被開二次方的被開方數的非負性在整個初中的數學考試中經常會遇到，要牢記，牢記！
例1、要使式子√（a+3）/（a-1）有意義，求a的取值範圍。
分析：要使上面的式子有意義，則要使二次根式有意義，且分母不為0。
即a+3≥0且a-1≠0，
解得a≥-3且a≠1。
例2、求使代數式√（2a-3）/（3-a）有意義的a的取值範圍。
分析：被開方數是非負數且分母不為0。
2a-3≥0且3-a≠0，
解得a≥3/2且a≠3。
例3、若無論x取任何實數，二次根式√（x^2+12x+m）都有意義，求m的取值範圍。
分析同上，先將被開方數配方。
x^2+12x+m=（x+6）^2+m-36≥0，
因為x為任意實數，且（x+6）^2≥0，所以只需m-36≥0即可。
解得m≥36。
當m≥36時，二次根式總有意義。
例4、已知（x+3）^2+√（4x-3y+3）=0，求√（xy）的值。
分析：根據完全平方數及被開方數的非負性可得
x+3=0，
4x-3y+3=0。
解之得x=-3，y=-3。
所以√（xy）=√（-3×）（-3）=√9=3。
例5、已知3+√3與3-√3的小數部分分別是m，n。求4m+3n-5的值。
分析：1<√3<2，所以4<3+√3<5，1<3-√3<2，m，n分別是其小數部分，所以m=√3-1，n=2-√3。
故4m+3n-5
=4（√3-1）+3（2-√3）-5
=4√3-4+6-3√3-5
=√3-3。
例6、已知
M是a+3的算術平方根，N是b-2的三次方根，求M-N的四次方根。
分析：根據根式的定義及有意義的條件有
a+b-2=2且a+3≥0，
2a+b-2=3。
解之得a=1，b=3。
所以M=√（1+3）=2，N=1，M-N=1。
故M-N的四次方根為±1。
[練習]
1、若要使√（5-4x）有意義，求x的取值範圍。
2、若代數式（√a+1）/√（a-1）有意義，求a的取值範圍。
3、若一個正實數的平方根分別是x+1和2x+5，求這個正實數是多少？
4、當x取什麼值時，代數式√（3x-5）+4的取值最小？並求出這個最小值。
參考答案
1、x≤5/4；
2、a>1；
3、9；
4、x取5/3時有最小值1。