1.設數列{an}是等比數列,Sn是其前n項和.
(1)若m+n=p+q,則aman=apaq;若2s=p+r,則apar=,其中m,n,p,q,s,r∈N*.
(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數列,公比為qm(k,m∈N*).
(3)若數列{an},{bn}是兩個項數相同的等比數列,則數列{ban},{pan·qbn}和也是等比數列.
(4)Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
(5)若a1·a2·…·an=Tn,則Tn,,…成等比數列.
2.解決等比數列有關問題的常見思想方法:
(1)方程思想:等比數列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以「知三求二」,通過列方程(組)求關鍵量a1和q,問題可迎刃而解.
(2)分類討論思想:因為等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當某一參數為公比進行求和時,就要對參數是否為1進行分類求和.
(3)整體思想:應用等比數列前n項和公式時,常把qn或當成整體進行求解.
3.證明數列{an}是等比數列常用的方法:
(1)定義法：證明=q(n≥2,q為常數);
(2)等比中項法：證明=an-1·an+1(an·an-1·an+1≠0,n≥2,n∈N*);
(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數,n∈N*),則{an}是等比數列.
4.(1)通項公式的推廣:an=amqn-m;
(2)等比中項的推廣與變形:=am·an(m+n=2p)
及ak·al=am·an(k+l=m+n).