16世紀，隨著哥白尼「日心說」流行，以精確測量為基礎的天文學逐漸成為科學界的新寵，眾多科學家前僕後繼地投入到天文研究中。天體間的距離動輒就是上億千米，當時的人們要用大量時間計算這些龐大的數字，有時為了確定一個天體的位置就要在計算上花掉幾個月，不光耗費精力，還經常出錯。對大數的運算提出了更高的要求，改進數字計算方法、提高計算速度和準確度成了當務之急．
蘇格蘭數學家納皮爾 （Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ，１５５０－１６１７）無意間翻到了德國數學家維爾納（Johannes Werner）的著作。維爾納在書中首次嘗試採用三角函數進行簡化計算，也就是我們現在熟知的積化和差公式：cosAcosB=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]。納皮爾頓時來了精神：能不能找到一種方法，像維爾納的公式一樣將乘法轉變為加法呢？畢竟，加法可比乘法簡單多了。
怎麼轉換呢
我們不妨先看看下面兩行數：0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……1, 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,……聰明的小夥伴一定很快就看出第二行的數都是以2為底、以第一行的數為指數得到的冪。納皮爾發現，要計算32×128，只需先查出32對應5、128對應7，再將5和7相加得到12，然後根據12對應4096，就可快速得到32×128=4096。
維爾納經過對運算體系的多年研究，最終找到了簡化大數運算的有效工具，於１６１４年出版了 《奇妙的對數定律說明書》，標誌著對數的誕生．在這本書中，納皮爾藉助運動學，用幾何術語闡述了對數方法。
設AB是定長的線段，DE是從D點出發的射線。現在有C，F兩點，C點從A向B運動，F點從D向右運動。兩點同時以相等的初速度出發。F的運動是勻速的，而C點的速度與線段CB的長成正比(比例常數是1)。當C點行過一段距離AC以後，F點行過一段距離DF，納皮爾稱DF為CB的對數。
說明：C點是變速運動，要採用速度變化率表示C點的瞬時速度，式子(1)是求解上式微分方程得來的。
想想在維爾納的時代沒有微分方程的工具的，所以維爾納花了二十幾年才得到上面的等式。
把對數加以改造並使之廣泛流傳的是納皮爾的朋友布裡格斯 （Ｈ．Ｂｒｉｇｇｓ， １５６１—１６３１）．他通過研究 《奇妙的對數定律說明書》，感到其中的對數用起來很不方便，於是與納皮爾商定，使１的對數為０，１０的對數為１，這樣就得到了現在所用的以１０為底的常用對數．由於我們的數系是十進位，因此它在數值計算上具有優越性．１６２４年，布裡格斯出版了 《對數算術》，公布了以１０為底包含１～２００００及９００００～１０００００的１４位常用對數表．
《一千個數的對數》中的一頁（圖片來源：wikipedia）
根據對數運算原理，人們還發明了對數計算尺．３００多年來，對數計算尺一直是科學工作者，特別是工程技術人員必備的計算工具，直到２０世紀７０年代才讓位給電子計算器．儘管作為一種計算工具，對數計算尺、對數表現在都不再重要了，但是，對數的思想方法，即把乘方和乘法運算分別轉化為乘法和加法，在今天仍然具有生命力．
從對數發明的過程可以發現，納皮爾在討論對數概念時，並沒有使用指數與對數的互逆關係，主要是當時還沒有明確的指數概念，就連指數符號也是在２０多年後的１６３７年由法國數學家笛卡兒開始使用．直到１８世紀，瑞士數學家歐拉才發現指數與對數的互逆關係，並在１７７０年出版的一部著作中， 首先使用
．他指出，「對數源出於指數」．然而對數的發明先於指數，這成為數學史上的珍聞． 從對數的發明過程可以看到，社會生產、科學技術的需要是數學發展的主要動力．建立對數與指數之間聯繫的過程表明，使用較好的符號體系和運算規則不僅對數學的發展至關重要，而且可以大大減輕人們的思維負擔．