初中數學解題中，什麼時候要用方程？

初中數學解題，使用方程的時機在哪裡

最近在教三角函數，布置了課本上的一道題：

選自北師大版數學九年級下冊

​3分鐘後，我巡視了一圈，發現不少學生還是無從下手，於是講解了一種常規的解法，先設SO的長為x，由等腰三角形的「三線合一」性質，推出∠ASO等於60°，以及AO的長為27，然後利用三角函數列出方程，從而得到答案。題目講完，有個學生吐槽了一句：「我擦，原來要用方程來解啊！」

在普通班，這句吐槽或許代表了不少學生的心聲，同時也暴露了一個問題，就是學生缺乏用方程思想解題的意識，簡單說，就是不知道什麼時候該用方程來解題，什麼時候沒必要。為什麼會這樣呢？因為在學習方程應用的時候，許多學生的做法，只是單純機械地記住，自己做過的哪些題目要列方程，哪些題目不用列，但從未想過其中的緣由。

每次我問起一道題怎麼做，學生通常反應很快：「設未知數！」我再問為什麼要設未知數，學生就支支吾吾，然後開始調皮了：「因為所以，科學道理！」於是，有些簡單的應用題，明明一步列式就能得出結果，他們偏偏大費周折地設未知數；而有些題目雖然平時沒見過，但只要列個方程就能搞定，難度也不大，他們還是看半天找不到解題的方向。

學習方程，不僅要會用，還得知道什麼時候用

那麼，在初中的數學解題中，什麼時候應該用方程呢？

我們可以從方程身上找答案。根據中小學數學教材給出的邏輯定義，方程指的是含有未知數的等式，它能用來表示兩個數學式（比如兩個數、函數、量、運算等）之間的相等關係。初中涉及到的，主要有一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程和一元二次方程四種。

從定義看，方程其實是分析和處理數量關係的工具之一。列方程的根據，就是數量之間的相等關係，我們習慣稱為等量關係，而解方程的結果，就是一個數量。由此可見，如果一道數學題涉及求某個數量，我們都可以嘗試使用方程，因為要求的數量，與已知條件中給出的數量，十有八九會存在某種關係：如果是等量關係，我們可以列出方程，或者是方程組；如果是不等關係，我們可以列不等式；如果是動態關係，我們還可以列出函數。

數量問題不難辨認，它們的常見特徵，就是「求大小」或「求多少」。比如幾何問題中的求角度、求線段長度以及求周長面積，概率統計中的求頻率、求總體以及求百分比，等等。

數量問題的特徵，是「求大小」或「求多少」

不過，有些題目雖然含有等量關係，但我們還是不選擇用方程。為什麼？因為不划算。

百度百科對「方程」的解釋，點出了方程的優勢，就是免去逆向思考的不易。

方程的優勢，在於免去逆向思考的不易

什麼是逆向思考？先來了解與它相對的概念，正向思考。所謂正向思考，就是沿襲某種常規去分析問題，通過已知推進到未知的思維方法，比如已知一個長方形的長為10，寬為3，那麼它的面積就是10×3=30，這對學生來說就是正向思考，因為從邊長到面積，是認識長方形的自然路徑。

那逆向思考呢？逆向思考就是把某種常規的事物或觀點反過來思考，從未知回到已知的思維方式。像剛才的例子，如果反過來，一個長方形的面積是30，寬是3，那麼它的長就是30÷3=10，這對學生來說就是一種逆向思考。

當然，我們也可以設長方形的長為x，然後根據面積公式列出方程3x=30，同樣能得到長是30，但是沒必要，因為這裡的逆向思考難度不大。

有些情況就不一樣，比如多邊形內角和公式是180°×（n-1），知道邊數n求內角和不難，帶入公式就行，可是反過來，知道內角和求邊數n，如果不用方程的話，不少學生還是算不過來。

用方程解題，是藉助設未知數，把未知暫時變成已知，接著通過正向思考找出等量關係，列出方程，再通過解方程得出結果。整個過程，本質上是把對問題的逆向思考，轉化為列方程求解的正向操作，從而化解逆向思考的難度。

方程解題的本質，是把對問題的逆向思考，轉化為列方程求解的正向操作

有的人可能覺得：「為了避免逆向思考，還得多學一個方程，這哪算化解難度？」其實不然，如果沒有方程的話，我們在學一條公式的時候，為了應對未來的逆向使用，就要把公式反過來學一下。比如頻率=頻數÷試驗次數，為了應對求頻數和求試驗次數的情況，我們就要多花點時間，把這條公式反過來做一些練習，比如頻數=試驗次數×頻率，試驗次數=頻率÷頻率。

看上去好像也沒花多少精力，但是學的公式一多，這點點滴滴積累起來，也是一筆不小的精力投入。花點時間學方程，我們就能把這筆精力的一大半省下來，學習和研究更有趣的事情，這是一個很划算的選擇。

綜上可知，解題用不用方程，由正向思考與逆向思考的成本對比來決定。我們在教學中，可以這樣引導學生：遇到求大小和求多少之類的數量問題，先嘗試列算式解決，如果算式列不出來，就考慮設未知數，然後找等量關系列方程。

我也在教學中發現，只要能意識到嘗試設未知數，很多學生都能很順利地走出解題的第一步。

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