單位分數分拆(過路人,zxc,測試,老楊)

2020-12-25 北京奧數網

過路人出題

 單位分數分拆

把1/28表示為兩個不同的單位分數之和，共有多少種不同的表示方法? （次序不同算同一種）

  zxc

把1/28表示為兩個不同的單位分數之和，共有多少種不同的表示方法? （次序不同算同一種）

28的約數有1、2、4、7、14、28

（取1、2）1/28=（1+2）/[28*（1+2）]=1/84+1/42

（取1、4）1/28=（1+4）/[28*（1+4）]=1/140+1/35

（取1、7）1/28=（1+7）/[28*（1+7）]=1/224+1/32

（取1、14）1/28=（1+14）/[28*（1+14）]=1/420+1/30

（取1、28）1/28=（1+28）/[28*（1+28）]=1/812+1/29

（取2、4）1/28=（2+4）/[28*（2+4）]=1/84+1/42（重複）

（取2、7）1/28=（2+7）/[28*（2+7）]=1/126+1/36

（取2、14）1/28=（2+14）/[28*（2+14）]=1/224+1/32（重複）

（取2、28）1/28=（2+28）/[28*（2+28）]=1/420+1/30（重複）

（取4、7）1/28=（4+7）/[28*（4+7）]=1/77+1/44

（取4、14）1/28=（4+14）/[28*（4+14）]=1/126+1/36（重複）

（取4、28）1/28=（4+28）/[28*（4+28）]=1/224+1/32（重複）

（取7、14）1/28=（7+14）/[28*（7+14）]=1/84+1/42（重複）

（取7、28）1/28=（7+28）/[28*（7+28）]=1/140+1/35（重複）

（取14、28）1/28=（14+28）/[28*（14+28）]=1/84+1/42（重複）

所以有1/28=1/84+1/42=1/140+1/35=1/224+1/32=1/420+1/30=1/812+1/29=1/126+1/36=1/77+1/44，共7種不同的方法。



測試

1/28=1/a+1/b，ab=28(a+b)，ab-28a-28b=0，(a-28)(b-28)=28^2=(2^4)*(7^2)，顯然，a, b>28；

(2^4)*(7^2)有5*3=15個不同的因數，有7個小於28，有7個大於28

不妨設a<b，則a-28<b-28；且

當a-28取遍(2^4)*(7^2)的小於28的因數時，b-28對應地取遍(2^4)*(7^2)的大於28的因數；

因此滿足要求的解共7個

對小學而言，例舉會簡明一些。

我的方法：

對分母進行質因數分解，如N=a×b，a,b均為質數，則可以分拆成：

1/N=1/(a×b)=(1/a)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=1/a(a+b)+1/b(a+b)

如N=a×b×c，a,b,c均為質數，則可以分拆成：

1/N=1/(a×b×c)=(1/ab)×[1/(c+1)+1/c(c+1)]=(1/c)×[1/(ab+1)+1/ab(ab+1)]

=(1/bc)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=(1/a)×[1/(bc+1)+1/bc(bc+1)]

=(1/ac)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(ac+1)+1/ac(ac+1)]

=1/ac(a+b)+1/bc(a+b)=1/ab(a+c)+1/bc(a+c)=1/ab(b+c)+1/ac(b+c)

=1/(abc+1)+1/abc(abc+1)。

（註：abc表示a×b×c，其他同理。）


把1/28表示為兩個不同的單位分數之和，共有多少種不同的表示方法? （次序不同算同一種）


談談我的方法，好像和大家的不完全相同。


這種題目可以非常快的做出來！


28×28＝2^4×7^2


顯然28^2共有（5＋1）×（2＋1）＝15個不同的約數。




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