全等三角形、等腰三角形、直角三角形綜合訓練——補形輔助線添加思路(解析)

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許多幾何問題，常因圖形複雜、不規則而給解題帶來困難，這些複雜、不規則的圖形，從整體考慮，可看作某種特殊圖形的一部分，如果將它們補充完整，就可得到常見的特殊圖形，利用特殊圖形的性質轉化問題，這就是解幾何問題的補形法，常見的補形方法有：

1、將原圖形補形為最能體現相關定理、推論、公理的基本圖形，或幾何基本模型圖；

2、將原圖形補形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形或特殊四邊形。

練習思考：

1、 如下圖，凸五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，則這個五邊形的面積為____.

解析：題中120°的角常可構造該角的鄰補角，進一步得到等邊三角形或含30°角的直角三角形等。

如下圖，延長EA、CB，因為∠EAB＝∠CBA＝120°，易證△ABF為等邊三角形，AF＝BF＝AB＝2，所以FE＝FC＝4，又∠F＝60°，所以△EFC為等邊三角形，三邊長均為4。

所以等邊三角形△ABF、△EFC的面積可以計算。又可證明△EFC≌△EDC，鞭打所以△EFC、△EDC的面積相等，五邊形ABCDE的面積可由△EFC面積的兩倍減去△ABF的面積求得。

2、一個六邊形的六個內角都是120°（如上圖），連續四條邊的長依次為 1，3，3，2，則這個六邊形的周長是____.

解析：如下圖所示，分別作線段AB、CD、EF的延長線和反向延長線，它們交於點分別為點G、H、I．

                       

   

因為六邊形ABCDEF的六個角都是120°，
所以六邊形ABCDEF的每一個外角的度數都是60°．
所以△AFI、△BGC、△DHE、△GHI都是等邊三角形．
所以AI=AF=3，BG=BC=1．
所以GI=GH=AI+AB+BG=3+3+1=7，

所以HI＝HG＝7

DE=HE=HI-EF-FI=7-2-3=2，

所以DH＝DE＝2，CG＝BC＝1

CD=HG-CG-HD=7-1-2=4．
所以六邊形的周長為3+1+4+2+2+3=15；

3、如下圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝CCDA＝90°，BE⊥AD於E，S四邊形ABCD＝18，則BE 的長為____.

解析：過B點作BF⊥CD，與DC的延長線交於F點，

四邊形BEDF中，∠BED＝∠D＝∠F＝90°，所以 ∠EBF＝ 90°

又 ∠ABC＝ 90°，可證得 ∠ABE＝∠CBF

則有△BCF≌△BAE(AAS)，

則BE=BF，S四邊形ABCD=S正方形BEDF=8，

解析：由∠BCD＝90°，∠ABC＝ 135°，延長DC、AB交於點E，可得等腰直角三角形BCE。

進一步計算得AE＝DE＝4，∠E＝45°

再等腰三角形EAD中，∠E＝45°，故底角∠D可求。

5、如下圖，AB＝12，AB⊥BC於B，BA⊥AD於A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中點，求EC和AE的長.

 

解析：如下圖，過D作DF∥AB，延長CB交DF於點F，

可得∠F＝90°，在Rt△DFC中，DF＝AB＝12，

FC＝FB+BC＝AD+BC＝5+10＝15

由勾股定理求得DC，進一步求EC。

如下圖，延長AE交BC於點G，因為E是CD的中點，

又可證AD∥BC，所以可證明△AED≌△GEC，

所以GC＝AD＝5，AE＝GE

BG＝BC－GC＝10－5＝5

可在Rt△ABG中求出AG的長，再求得AE.

6、如下圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，∠DAB=∠BCD=90°，若四邊形ABCD的面積為12，則BC+CD=______．

解：連結DB

直角△ABD中，AB=AD=4，

∵四邊形ABCD的面積為12，

∴△BCD的面積為12-8=4，

7、如上圖，在△ABC中， AN平分∠A，AN⊥BN於N，且AB＝a，AC＝a+6，BC＝18，則CN的取值範圍是______．

解析：如下圖，延長BN交AC於點M.

則有△ABN≌△AMN(ASA)，

所以BN＝MN，AM＝AB＝a

所以CM＝AC－AM＝6

在△BCM中，CM＝6，BC＝18，CN為BM邊上的中線，求CN的取值範圍思路如下：

延長CN到點D，使得DN＝CN，又因為BN＝MN

易證△BND≌△MNC(SAS)

所以DB＝CM＝6

在△BCD中，BC-DB<DC<BC-DB

所以18－6<DC<18+6

所以12<2CN<24

所以6<CN<12

8、如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點D在邊BC上，∠ADC＝60°，且BD＝1/2CD. 將△ACD以直線AD為軸作軸對稱變換，得到△AC』D，連結BC 』.

(1) 證明：BC 』⊥BC；

(2) 求∠C 的大小.

證明：（1）∵△AC′D是△ACD以AD為軸對稱變換得到的，

∴△AC′D≌△ACD．

有C′D=CD，∠ADC′=∠ADC＝60°．

∴∠BDC′＝60°．

取C′D中點P，連接BP，則可證△BDP為等邊三角形，△BC′P為等腰三角形，

∴在D BC′D中

∠C′BD=180°－∠BC′D－∠BDC′＝90°，

即BC′⊥BC．

（2）解：如圖，過點A分別作BC，C′D，BC′的垂線，垂足分別為E，F，G．

∵∠ADC′=∠ADC，即點A在∠C′DC的平分線上，

∴AE=AF．

∵∠C′BD=90°，∠ABC=45°，

∴∠GBA＝∠C′BC-∠ABC=45°，

即點A在∠GBC的平分線上，

∴AG=AE．

於是，AG=AF，則點A在∠GC′D的平分線上．

又∵∠BC′D=30°，有∠GC′D=150°．

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