尼爾斯·亨裡克·阿貝爾
1824年，一位年輕的挪威數學家尼爾斯·亨裡克·阿貝爾取得了一個與某類方程相關的令人震驚的結果。不久之後，法國天才數學家埃瓦裡斯特·伽羅瓦以深入的眼光證明了這一結果為什麼是正確的——並在這個過程中開創了用數學研究對稱性的先河。可惜兩人都英年早逝，沒有來得及享受他們的工作帶來的好處。阿貝爾於1829年死於肺結核和貧困，時年26歲。伽羅瓦死於1832年，他在一場據稱是為了爭奪一個女人而進行的決鬥中被殺死。當時他只有二十歲。
那麼他們做出了什麼樣的工作？方程和對稱性又有什麼關係？
最著名的公式之一是二次方程的通解公式，如果方程寫為：
那麼通解公式就可以告訴我們方程的解為：
以及
無論a，b，c的值是多少，這個公式都可以告訴你解是多少。它們使用起來很方便。
這有一個類似的但複雜得多的公式可以告訴你三次方程的通解，方程的形式為：
還有一些更複雜的方程可以告訴你四次方程的通解，這些方程可以寫為：
雖然關於二次，三次，四次方程的通解公式看起來有些複雜，但是它們只包含了有限個運算操作：加、減、乘、除、開平方、開三次方、開四次方。
很顯然，你接下來會問，我們可以為五次方程找到一個類似的通解公式嗎？
更一般的，包含x高階項的多項式方程的通解公式長什麼樣子？
伽羅瓦畫像 在他死後16年的1848年，由他的兄弟根據記憶所作
我們想要的是一個公式，這個公式只包含加減乘除和求根操作。如果一個方程具有這樣一個通解公式，那麼我們說這個方程是有根式解的。
1824年阿貝爾證明的結論是：對於一般的五次方程，不存在根式解。當然，這並不意味所有的五次方程都是沒有根式解的。例如，多項式方程：
擁有一個解：。
但是對於一般的五次方程，確實不存在一個普適的根式解公式。
阿貝爾證明了這一結果，但幾年後，伽羅瓦才真正意識到為什麼五次方程不存在根式解。伽羅瓦常被認為群論的奠基人，群論是一門研究對稱性的數學。 我們通常認為對稱性是一種視覺現象：一幅畫或圖案可能是對稱的。但是對稱性和方程有什麼關係呢？答案有些微妙，但非常美麗。
首先，讓我們思考對稱性真正的含義。我們說一個正方形是對稱的是因為我們將它繞著中心軸旋轉90度，或者將它對於各種軸做反射操作並不會改變它的外觀。所以對稱性意味著沒有變化：如果我們對某個物體進行某種操作之後並沒有改變它，那麼它就具有對稱性。
當我們思考二次方程式，我們可以發現少許對稱性。例如，二次方程
擁有兩個解
方程具有兩個離散的解，但是某種意義上，它們非常相似：只需在一個解上加上一個負號就可以得到另一個解。也許交換兩個解並不會帶來什麼不同，就像對正方形做鏡像操作一樣意味著一種對稱性一樣，交換方程的兩個解也許也意味著某種對稱性。但究竟是哪種對稱性呢？
蝴蝶有對稱性，方程也有對稱性！
為了理解這些結果，讓我們考察一下方程所包含的數字：
方程的係數是1和-2：兩個係數都是有理數。但是它的解卻是兩個無理數：你無法將和寫成兩個整數相除的形式。多數二次方程的解都是無理數，因此只考慮方程的係數是不夠的。
讓我們把視野放寬一點。我們不光考察一組有理數（寫作），我們還要考察一組新的數，這組數寫作。這組數包含所有可以寫作的數，其中a和b是有理數。很顯然，新的一組數包含所有的有理數（b=0），同時也包含前面二次方程的兩個解和。
新的一組數是自包含的（ self-contained）：你可以將其中的兩個數相加、相減、乘或者相除，得到的結果仍然在這組數裡。在數學中，被稱為一個域（field）。在代數操作下的自包含性是域的基本特性。事實上，是包含所有有理數以及和的最小的域。
還有其它的-自同構變換嗎？答案是肯定的，其實還有一個-自同構變換，儘管這個自同構變換很平庸。它使中的每個數保持不變。用函數表示就是：。的 -自同構集合（也就是方程的對稱性的集合）只包含g和f兩個元素。
一個事物，無論它是一個圖形還是一個方程，它的對稱性的集合構成一個群。這個系統是自包含的原因是兩個對稱變換的組合仍然構成一個對稱變換。在我們的例子中，將對稱變換f連續兩次作用在一個數上不會改變這個數：
類似的，先作用f後作用g，或者先作用g後作用f的組合構成了f，而g和g的組合仍然是g。我們的方程的對稱性構成的群包含兩個-自同構g和f，它被稱為方程的伽羅瓦群。
Why you can't solve the general quintic?
我們可以對其他任意多項式做類似的事情，例如對一個五次方程：
A，b，c，d，e和f是有理數。同樣的，我們可以將有理數域擴展成包含和方程的解的最小的域。它被稱為的分裂域（splitting field）
就像我們對二次方程做的那樣，你可以觀察一下這個分裂域的對稱性。它的-自同構包含不改變域內數字的自同構變換和不改變域的結構的自同構變換，它們構成的伽羅瓦群。
紀念伽羅瓦的法國郵票
伽羅瓦所能證明的是，一個方程是否有根式解，取決於它的伽羅瓦群的結構。有時候伽羅瓦群可以被分成更小的分量，它們和取n次方根有關。如果是這種情況，那麼方程擁有根式解。
然而，如果它無法以恰當的方式分被解成更小的分量，如果你不能把對稱性分離出來，那麼你就找不到一個只涉及加、減、乘、除和求根的通解，在這種情況下，方程不存在根式解。
我們可以證明，五次方程並不能以恰當的方式分解。因此，五次方程不存在根式通解。對於包含x的更高次冪的多項式方程也是一樣的：它們沒有根式通解。用群論研究方程的解被稱為伽羅瓦理論，這一理論以其發明者的名字命名。