【秒懂奧數】6年級幾何綜合之一(上),幾何圖形的設計與構造較為複雜的直線形和圓的周長與面積計算問題,小升初必考題

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幾何圖形的設計與構造．涉及比例與整數分解，需要添加輔助線、尋找規律或利用對稱性解的較為複雜的直線形和圓的周長與面積計算問題．

1．今有9盆花要在平地上擺成9行，其中每盆花都有3行通過，而且每行都通過3盆花．請你給出一種設計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行．

[分析與解] 如下圖所示，我們給出四種不同的排法．

2．已知如圖7-1，一個六邊形的6個內角都是120°，其連續四邊的長依次是l，9，9，5釐米．求這個六邊形的周長．

[分析與解] 如下圖所示，將六邊形的六條邊分別延長，相交至三點，並將其標上字母，

有∠BAF＝120°，而∠IAF＝180°－∠BAF＝60°，又∠EFA＝120°，而∠IFA＝180°－∠EFA＝60°，則△IAF為等邊三角形．

同理△BCG、△EHD、△IGH均為等邊三角形．

在△IAF中，有IA＝IF＝AF＝9(釐米)，

在△BGC中，有BG＝GC＝BC＝1(釐米)，

有IA+AB+BG＝IG＝9+9+1＝19，即為大正三角形的邊長，所以有IG＝IH＝GH＝19(釐米)．

則EH＝IH－IF－FE＝19－9－5＝5(釐米)，在△EDH中，DH＝EH＝5(釐米)，所以CD＝GH－GC－DH＝19－1－5＝13(釐米)．

於是，原圖中六邊形的周長為1+9+9+5+5+13＝42(釐米)．

3．圖7—2中共有16條線段，每兩條相鄰的線段都是互相垂直的．為了計算出這個圖形的周長，最少要量出多少條線段的長度?

[分析與解]如下圖所示，我們想像某隻昆蟲繞圖形爬行一周，回到原出發點，那麼有往右的路程等於往左的路程，往上的路程等於往下的路程．於是只用量出往右的路程，往下的路程，再將它們的和乘以2即為所求的周長．所以，最少的量出下列6段即可．

4．將圖7-3中的三角形紙片沿虛線摺疊得到圖7-4，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為2：3．已知圖7-4中3個畫陰影的三角形面積之和為1，那麼重疊部分的面積為多少?

[分析與解]設重疊部分的面積為x，有原三角形面積為1+2x，粗實線的面積為1+x，則(1+2x)：(1+x)＝3：2，解得x＝1，即重疊部分面積為1．

法2，由題意我們知道一個空白部分的面積佔

整個三角形面積的1/3，2個空白部分佔三角形

的2/3，陰影佔三角形的1/3，三角形的面積

為1÷1/3=3那麼空白的面積為1

5．如圖7-5，塗陰影部分的小正六角星形面積是16平方釐米．問：大正六角星形的面積是多少平方釐米?

   

6．如圖7-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA．若三角形ABC的面積是1，則陰影部分的面積是多少?

[分析與解] △ABC、△ADC同高，所以底的比等於面積比，有S△ADC＝×S△ABC＝×S△ABC＝．

而E為AD中點，所以S△DEC＝S△ADC＝．

連接FD，有△DFE、△FAE面積相等，設S△FEA＝x，則S△FDE的面積也為x，有S△ABD＝S△ABC＝．

有S△BDF＝S△ABD－S△FEA－S△FDE＝－2x，而S△FDC＝S△FDE+S△DEC＝x+．

有S△BDF：S△FDC＝：＝1：3，解得x＝．

所以，陰影部分面積為S△DEC+S△FEA＝+＝．

7．如圖7-7，P是三角形ABC內一點，DE平行於AB，FG平行於BC，HI平行於CA，四邊形AIPD的面積是12，四邊形PGCH的面積是15，四邊形BEPF的面積是20．那麼三角形ABC的面積是多少?

[分析與解] 有平行四邊形AIPD與平行四邊形PGCH的面積比為IP與PH的比，即為12：15＝4：5．

同理有FP：PG＝20：15＝4：3，DP：PE＝12：20＝3：5．

如圖，連接PC、HD，有△PHC的面積為，有△DPH與△PHC同底PH，同高，所以面積相等，即S△DPH＝，而△DPH與△EPH的高相等，所以底的比即為面積的比，有S△DPH：S△EPH＝DP：PE＝3：5，所以S△EPH＝×S△DPH＝×＝．

如下圖所示，連接FH、BP，有S△IFP＝S△FPH＝S△FBP＝×10＝8；

如下圖所示，連接FD、AP，有S△DPG＝S△DFP＝S△APD＝×6＝．

有S△ABC＝S平行四邊形AIPD+S平行四邊形BEPF+S平行四邊形CGPH+S△IFP+S△DGP+S△EHP＝12+20+15+8++＝72．

8．如圖7-8，長方形的面積是小於100的整數，它的內部有三個邊長是整數的正方形，①號正方形的邊長是長方形長的，②號正方形的邊長是長方形寬的．那麼，圖中陰影部分的面積是多少?

[分析與解] 有①號正方形的邊長為長方形長的，則圖中未標號的正方形的邊長為長方形長的．

而②號正方形的邊長為寬的，所以未標號的正方形的邊長為長方形寬的．

所以在長方形中有：長＝寬，則長：寬＝12：8，不妨設長的為12k，寬為8k，則①號正方形的邊長為5k，又是整數，所以k為整數，有長方形的面積為96k2，不大於100，所以k只能為1，即長方形的長為12，寬為8．

於是，圖中①號正方形的邊長為5，②號正方形的邊長為1，則未標號的正方形的邊長為7，所以剩餘的陰影部分的面積為12×8－52－12－72＝21．

9．如圖7-9，三個一樣大小的正方形放在一個長方形的盒內，A和B是兩個正方形重疊部分，C，D，E是空出的部分，這些部分都是長方形，它們的面積比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那麼這個長方形的長與寬之比是多少?

[分析與解] 如下圖所示，我們延長相關線段，原圖被分成15塊，將未標有字母的區域標上標號．

因為所求的是長與寬的之比，所以我們設A的面積為1，則B、C、D、E分別為2，3，4，5．

設①的面積為x，①：③＝A：B＝1：2，則③的面積為2x，有E+①＝D+③，即5+x＝4+2x，有x＝1，①的面積為1，③的面積為2．

而E+①＝①+②+③＝③+D，即5+1＝1+②+2，所以②＝3．

而①：A＝②：⑤，即1：1＝3：⑤，所以⑤＝3．

又有A：⑧＝⑤：C＝B：⑨，即3：⑧＝3：3＝2：⑨，所以⑧＝3，⑨＝2．

於是有①：A：⑧＝1：1：1，而E：④：⑦＝D：⑥：⑩＝①：A：⑧＝1：1：1，所以④＝⑦＝E＝5，⑥＝⑩＝D＝4，

而④+A+⑤+B+⑥+⑦+⑧+C+⑨+⑩的面積和為正方形的邊長與大長方形長的乘積；

而E+①+④+A+⑦+⑧的面積和為正方形的邊長與大長方形寬的乘積．

所以，大長方形長與寬的比為(④+A+⑤+B+⑥+⑦+⑧+C+⑨+⑩)：(E+①+④+A+⑦+⑧)＝(5+1+3+2+4+5+1+3+2+4)：(5+1+5+1+5+1)＝30：18＝5：3．

10．如圖7-10，紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個正方形盒內，它們之間互相疊合．已知露在外面的部分中，紅色的面積是20，黃色的面積是14，綠色的面積是10．那麼，正方形盒子的底面積是多少?

[分析與解]如下圖所示，我們將黃色的正方形紙片向左推向紙盒的邊緣，有露在外面的部分，黃色減少的面積等於綠色增加的面積，也就是說黃色、綠色部分露在外面部分的面積和不變．

並且有變化後，黃色露出面積+紅色部分面積，綠色露出面積+紅色部分面積，都是小正方形紙片邊長乘以大正方形盒子邊長的積．

所以 黃色露出面積+紅色部分面積＝綠色露出面積+紅色部分面積，於是 黃色露出面積＝綠色露出面積，而它們的和為14+10＝24，即黃色露出面積＝綠色露出面積＝12．

有黃：空白＝紅：綠，12：空白＝20：12，解得空白＝7.2，所以整個正方形紙盒的底面積為12+7.2+20+12＝51.2．

11．如圖7-1l，在長260釐米，寬150釐米的撞球桌上，有6個球袋A，B，C，D，E，F，其中AB＝EF＝130釐米．現在從A處沿45°方向打出一球，碰到桌邊後又沿45°方向彈出，當再碰到桌邊時，仍沿45°方向彈出，如此繼續下去．假如球可以一直運動，直至落入某個球袋中為止，那麼它將落入哪個袋中?

[分析與解] 將每個點的位置用一組數來表示，前一個數是這個點到FA的距離，後一個數是點到FD的距離，於是A的位置為(0，150)，球經過的路線為：

(0，150)→(150，0)→(260，110)→(220，150)→(70，0)→(0，70)→(80，150)→(230，0)→(260，30)→(140，150)→(0，10)→(10，0)→(160，150)→(260，50)→(210，0)→(60，150)→(0，90)→(90，0)→(240，150)→(260，130)→(130，0)．

因此，該球最後落入E袋．

12．長方形ABCD是一個彈子盤，四角有洞．彈子從A出發，路線與邊成45度角，撞到邊界即反彈，並一直按此規律運動，直到落入一個洞內為止．如圖7-12，當AB=4，AD=3時，彈子最後落入B洞．問：若AB=1995，AD=1994時，彈子最後落入哪個洞?在落入洞之前，撞擊BC邊多少次?

[分析與解]設由DC邊反彈，彈子撞擊BC邊的位置距離C點為k格，從BC邊反彈後，彈子撞擊AB邊的位置距離B點為(1994－k)格，距離A點為(k+1)格．

經過AB邊反彈後，彈子撞擊AD邊的位置距離A點為(k+1)格，距離D點為[1994－(k+1)]格．

經過AD邊反彈後，彈子撞擊DC邊的位置距離D點為[1994－(k+1)]格，距離C點為1995－[1994－(k+1)]＝k+2格．

再撞擊BC邊的位置距離C點為k+2格，即比前一次的位置下移2格．

第一次撞擊BC邊的位置距離C點為1格．以後每撞擊BC邊一次，距離增加2格，第n次撞擊BC邊的位置距離C點為(2n－1)格．

當n＝997時，離C點有1993格，離B點只有1格．經BC的反彈，撞擊AB的位置離A點為1994格，再反彈就落入D洞．

1994÷2＝997，即經過撞擊BC邊997次後，彈子落入D洞．

法2，推理可知當邊長為5×4時落入D洞，當變長為6×5時落入B洞…當為奇數×偶數時是D洞，當為偶數×奇數時是B洞，

13．10個一樣大的圓擺成如圖7-13所示的形狀．過圖中所示兩個圓心A，B作直線，那麼直線右上方圓內圖形面積總和與直線左下側圓內圖形面積總和的比是多少?

14．在圖7-14中，一個圓的圓心是O，半徑r=9釐米，∠1＝∠2=15°．那麼陰影部分的面積是多少平方釐米?(π取3.14．)

[分析與解] 有AO＝OB，所以△AOB為等腰三角形，AO＝OC，所以△AOC為等腰三角形，

∠ABO＝∠1＝15°，∠AOB＝180°－∠1－∠ABO＝150°，

∠ACO＝∠2＝15°，∠AOC＝180－∠2°－∠ACO＝150°，

所以∠BOC＝360°－∠AOB－∠AOC＝60°，所以扇形BOC的面積為×92×π≈42.39(平方釐米)．

15．圖7-15是由正方形和半圓形組成的圖形．其中P點為半圓周的中點，Q點為正方形一邊的中點．已知正方形的邊長為10，那麼陰影部分的面積是多少? (π取3.14．)

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