平行四邊形難題，準確利用平行四邊形和三角形中位線性質是關鍵

2020-08-28 數學通

今天給各位同學分享的是一道平行四邊形的難題，適合初二已經學完平行四邊形的所有內容，並且想要拔高的同學，後附有詳細的解答過程。


【例題】

如圖，點E、F分別在平行四邊形ABCD邊BC和AD上（E、F都不與兩端點重合），連結AE、DE、BF、CF，其中AE和BF交於點G，DE和CF交於點H，令AF/BC＝n，EC/BC＝m，若m＝n，則圖中有 個平行四邊形（不加別的輔助線）；若m+n＝1，且四邊形ABCD的面積為28，則四邊形FGEH的面積為 （ ） ．

【解題分析】

根據平行四邊形性質可得：AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD，再由AF/BC＝n，EC/BC＝m，m＝n，可得AF＝EC，進而可得DF＝BE，可證明四邊形AECF、四邊形BEDF為平行四邊形，進而可證明四邊形EGFH是平行四邊形，故圖中有4個平行四邊形；由m+n＝1，可證明AF＝BE，DF＝CE，連接EF，即可得：四邊形ABEF、四邊形CDFE均為平行四邊形，故S四邊形FGEH＝1/2S△BCF＝1/4S四邊形ABCD＝7．


【解答過程】

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，AB＝CD

∵AF/BC＝n，EC/BC＝m，m＝n，

∴AF/BC＝EC/BC，

∴AF＝EC∴AD﹣AF＝BC﹣EC即DF＝BE

∴四邊形AECF、四邊形BEDF均為平行四邊形

∴AE∥CF，BF∥DE

∴四邊形EGFH是平行四邊形故圖中共有4個平行四邊形；

∵AF/BC＝n，EC/BC＝m，m+n＝1，

∴AF+EC＝BC＝AD

∵AF+DF＝AD

∴EC＝DF∴AF＝BE

∴四邊形ABEF、四邊形CDFE均為平行四邊形

∴BG＝FG，CH＝FH

∴S△EFG＝1/2S△BEF，S△EFH＝1/2S△CEF，

∴S四邊形FGEH＝S△EFG+S△EFH＝1/2S△BEF+1/2S△CEF＝1/2S△BCF，

∵S四邊形ABCD＝28

∴S△BCF＝1/2S四邊形ABCD＝28×1/2＝14

∴S四邊形FGEH＝1/2S△BCF＝14×1/2＝7


【總結】

這道題考查了平行四邊形性質和判定，三角形面積，平行四邊形面積等，熟練運用&34;和&34;是解題關鍵．


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