異分母分數相加,為何要通分?這是我看過的最好的解釋

做了幾套小升初的數學試卷，發現異分母分數比大小是必考題型。分數是小學階段孩子最難掌握的知識之一。究其原因，無怪乎是孩子對分數的概念理解不透徹。該怎麼協助孩子透徹理解分數呢？

在《兒童怎樣學習數學》裡，帕梅拉·利貝克說，要理解分數，有兩個主要障礙：

分數不能看作是孤立的、單獨存在的東西，它只有跟有關的整體聯繫起來才有意義。

要認識某個東西的幾分之幾，就需要對這個東西的整體有一個概念。

要想像一個整個蘋果，其中你得到四分之一，相對來說，比較容易。但是，要想像一千克的「整體」，其中你得到四分之一；或者是，一小時的「整體」，其中已過去了四分之一，這就不容易了。

理解分數的第二個障礙，是用數學符號來表示分數的這種複雜的記數法。一個分數，下面的這個數字（分母）和上面的這個數字（分子）起的作用完全不同。

2/3這個分數的分母告訴我們的是這個「整體」已經被分成了三個相等的部分，所以念做「三分」；而分子則告訴我們，要考慮是其中的兩部分，所以念做「之二」。

這一套分母、分子記數法，使得同一個分數可以有無數個記數法。例如2/3和4/6 、10/15、14/21等等。都是同一個數，這個概念孩子們要花很長的時間來吸收，理解上還可能有別的障礙。

為了克服第一個障礙，我們應該注意在最早的階段對於任何一個分數都要經常提到與之有關的這個整體。不要只講「四分之一」，而要講「一個蘋果的四分之一」，「一米的四分之一」，或者是「十二的四二分之一」等等。

為了克服第二個障礙，我們應該在孩子們較好地形成了概念之前，避免使用分數的記數法。只有1/2這個符號是例外，因為在生活中用的比較廣泛。可以讓孩子們把它念做「半」。至於這個符號為什麼是由「1」和「2」組成，就不要作任何解釋。

要協助孩子理解分數這個概念，有一本書值得參考。在安野光雅的《走進奇妙的數學世界》系列的第一冊裡，安野光雅把比較分數的大小，轉化成了比高矮，思路獨特又直觀。朵爸建議大家找到讀一讀。

安野光雅舉了個例子。拿幾個瓶子和不同數量的方糖擺開，問：哪個瓶子裡的水最甜呢？

看一下水中有幾塊方糖就能比較出來。在水量相同的情況下，方糖越多，水就越甜。

如果水量不同，該怎麼辦呢？此時，如果糖量一定時，水量越少越甜。

把分母比作水，分子當作糖，2/3 vs 1/3，是水量相同，糖多的更甜；5/8 vs 5/6是糖量相同，則水少的更甜。

可是，如果水量和糖量都不同，事情就麻煩了。這相當於分母和分子都不同。

舉個例子：

A、5克水中含有1克糖。

B、8克水中含有3克糖。

比較A和B，哪一個的糖分比值高時，會用到分數。A是1/5，B是3/8，通分後A是8/40，B是15/40，然後求其差，B的糖分比值比A多7/40。

用柱狀圖表示就是圖1，讓圖的高度相同，就與計算時要通分的情形一樣，換句話說，就是應用了「水量一定時，糖越多就越甜」這一規律。

電線桿遠看雖小，實際上的高度應該是相同的。這就是繪畫中的透視法原理，與幾何學中的比例意義相同。如果讓電線桿沿著oh線移動，向右時就會擴大，向左時就會縮小。

利用這個方法，可以把水量少和水量多的溶液設定成同樣的高度。在這種情況下，雖然溶液高度是相同的，但其中水和糖的比值並沒有改變（相當於分子分母同時擴大了相同倍數，但比率不變）。

圖3就是這樣的應用，連接OH這條線，就是為了讓A和B水量相同以後，用糖的高度來做比高矮，從而知道誰更甜。這是數學上典型的轉化思維。把濃度比率轉化為比較高與矮。

通分的理由只有一個，化成相同的計數單位

異分母分數相加減，先通分，化成相同的計數單位，再相加減。學過的加減法運算，還有哪些？是否也有相同的地方呢？

不管是整數加減法，還是小數加減法，都要對位相加，就是位值要對應，不能百位跟十位加，或者個位跟十分位相加。這是相同計數單位相加減。（順帶還可以複習下之前寫過的「數位」知識。「數位」與「位數」是意義不同的概念，注意區分。）

整數、小數、分數的加減法運算，都是把相同的計數單位的個數相加減。這就幫孩子把整個知識串聯起來。

可是分數的本質到底是什麼？為什麼需要分數？下一篇我們再來講一講。