研討素材一
一、教學內容解析
本節內容是人教A版必修一教材第一章第三節內容，是一節概念性知識，屬於函數的基本性質．本節內容是學生在了解函數概念後學習的函數的第一個性質，起著承前啟後的作用．一方面，初中數學的許多內容在解決函數的某些問題中得到了充分的運用，另一方面，函數的單調性與前一節函數的概念和圖像的知識的延續有著密切的聯繫，函數的單調性與後面的奇偶性是今後研究指數函數、對數函數、冪函數及三角函數等其他函數的基礎．
學生在觀察函數圖像時，首先注意到的是圖像的上升或下降，但是由圖像直觀獲得的結論還需要從數量關係的角度通過邏輯推理加以論證．教學中充分利用函數圖像，讓學生觀察圖像獲得函數基本性質的直觀認識，這樣處理充分體現了數形結合思想，也為下一步學習函數其他性質提供了方法依據．由此確定本節課的教學重點為：
重點：函數單調性的概念及判斷．
研究函數性質時的「三步曲」是：第一步，觀察圖像，描述函數圖像特徵；第二步，結合圖、表，用自然語言描述函數圖像特徵；第三步，用數學符號語言定義函數性質．本節課特別重視從幾個實例的共同特徵到一般性質的概括過程，並引導學生用數學語言表達出來，正是形成數學概念，培養學生探究能力的契機．
由於函數圖像是發現函數性質的直觀載體，因此，教學中充分使用信息技術創設教學情境，以利於學生作函數圖像，有更多的時間用於思考、探究函數的單調性．
二、教學目標設置
根據本節課的教學內容以及學生的認知水平，確定了本節課的教學目標 ：
知識與技能：從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．
過程與方法：通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．
情感、態度、價值觀：通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
三、學生學情分析
本節課的教學對象是長春市實驗中學高一年級的學生．
1.學生已有認知基礎
一是學生通過初中的數學學習，已有研究一次函數、二次函數等初等函數的直接經驗，對函數的簡單性質有初步的認識；二是前一節已經學習過函數的概念，對函數的圖像也有一定的感性認知；三是能力上具備了一定的觀察、類比、分析、歸納能力．
2.達成目標所需要的認知基礎
學生需要對研究目標、方法和途徑有初步認識，具備知識整合和主動遷移的能力，從形的直觀認識、感性認知到形成抽象的數學概念，具有數形結合的意識和歸納推理的能力．
3.難點及突破策略
對於函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．由此確定的難點及突破策略為：
難點：（1）函數單調性概念的形成；
（2）理解自變量在區間[a，b]上的「任意」取值的意義．
突破策略：
（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．
（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．
（3）教師啟發引導，組織學生交流研討，展現思維過程．
四、教學策略分析
根據本節課的教學內容、學生情況和教學目標，教學中採用「教師設疑引導，學生自主探究」的教學方法．通過啟發引導，激發學生的思維，鼓勵學生發現、探究、合作、展示，使其在探究中對問題本質的思考逐步深入，思維水平不斷提高．
針對本節課的重點——函數單調性的判斷和證明，教學中採用直觀到抽象，特殊到一般，感性到理性的教學過程，先通過討論具體函數圖像的上升或下降直觀描述發現問題，再把具體的、直觀形象的單調性特徵抽象出來，用數學符號語言描述．
本節課的難點之一是單調性概念的得出．教學中採用教師啟發引導，學生自主、合作、探究的教學方法，以及多媒體直觀教學的恰當應用，使學生從感性認識上升到理性認識，從「形」的直觀到「數」的推理，從「無限」驗證轉化為「有限」證明，使學生對單調性概念的理解水到渠成，逐層深入，步步升華．
本節課的另一個難點是為什麼要在區間上「任意」取兩個大小不等的實數．針對這個難點，教學中採取兩個措施．一是引導學生通過對圖像的觀察、分析，自主形成認識；二是通過小組研討的方式讓學生進行合作探究，加深對概念中「任意」含義的理解．
五、教學過程設計
研討素材二
一、教學內容解析
本節課內容是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版必修1第一章《集合與函數概念》1.3《函數的基本性質》中第1.3.1節《單調性與最大（小）值》的第一課時，本節教學內容為函數的單調性．函數的單調性是學生在了解函數概念後學習的函數的第一個性質．函數單調性的概念是研究具體函數單調性的理論依據，在研究函數的值域、最大值、最小值等性質中有重要應用，因而函數單調性概念是中學數學中最重要的概念之一．
在研究單調性過程中，經歷觀察圖象，描述函數圖象特徵；結合圖、表，用自然語言描述函數圖象特徵；用數學符號語言定義函數性質的過程．體現了對函數研究的一般方法．加強「數」與「形」的結合，由直觀到抽象；由特殊到一般．為進一步學習函數其他性質提供了方法依據．
在對函數單調性的探究過程中，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力；讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
本節課的教學重點：形成增（減）函數形式化定義
二、教學目標設置
（一）學習目標
1. 能從形與數兩方面理解函數單調性的概念，掌握用函數單調性的定義證明簡單函數在某區間上具有某種單調性的方法（步驟）.
2. 通過對函數單調性定義的探究，感悟數形結合的思想方法，培養觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力．
3. 通過知識的探究過程培養細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．
（二）目標解析
1．能夠以具體的例子說明某函數在某區間上是增函數還是減函數；能夠舉例，並通過繪製圖形說明函數在定義域的子集（區間）上具有單調性，而在整個定義域上未必具有單調性，說明函數的單調性是函數的局部性質.對於一個簡單的函數能夠用單調性的定義，證明它是增函數還是減函數.
2．在探究函數單調性定義時，領悟到數形結合思想、轉化思想、變化與對應思想，並能運用這些數學思想觀察、分析函數的圖象，探究、歸納、概括函數單調性的概念．
3．通過對函數單調性定義的探究，經歷觀察、分析、探究、歸納的認知過程，將函數圖象的「上升」或「下降」這一特徵能用該區間上「任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)」的數學語言進行刻畫.從函數f(x)=x2入手歸納函數單調性定義推廣到一般函數的單調性定義.培養良好的思維品質，提高思維能力．
三、學生學情分析
學生已有的認知基礎是，初中學習過函數的概念，初步認識到函數是描述事物運動變化規律的數學模型，並且學習了一次函數、二次函數及反比例函數，能熟練的利用描點法畫出這些函數的圖象.進入高中以後又進一步學習了函數概念，認識到函數是兩個非空數集間的一種對應．知道函數有三種表示方法，充分認識到一個函數中自變量與函數值的對應關係，可以利用圖象表示函數中函數值隨自變量x的變化而變化的規律和性質.
「圖象是上升的，函數是單調遞增的；圖象是下降的，函數是單調遞減的」僅就圖象角度直觀描述函數單調性的特徵，學生並不感到困難.困難在於，把具體的、直觀形象的函數單調性特徵抽象出來，用數學的符號語言描述.即把某區間上「f(x)隨著x的增大而增大」這一特徵用該區間上「任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)」進行刻畫.其中最難理解的是為什麼要在區間上「任意」取兩個大小不等的x1，x2
教學中，通過一次函數、二次函數等具體的函數圖象及數值變化特徵的研究，得到「圖象是上升的」，即「f(x)隨著x的增大而增大」，初步提出單調遞增的說法，通過圖表觀察，提出猜想，經歷討論、交流、驗證使學生克服思維障礙，經歷從直觀到抽象、具體到一般的形成知識的過程．
教學難點：形成增（減）函數概念的過程中，如何從圖象升降的直觀認識過渡到函數增減的數學符號語言表述，用定義證明函數單調性。
四、教學策略分析
為實現本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上我主要採取了以下的策略：
（1）創設生活情境，找準切入點．函數是描述事物運動變化規律的模型，生活中很多運動變化的現象都值得去關注，讓學生通過觀察天津市某天氣溫變化曲線圖的變化趨勢，完成對單調性直觀上的一種認識，並為概念的引入提供了必要性．讓學生帶著問題（什麼是函數的單調性？怎樣判定函數的單調性？）進入新課．
（2）探索概念階段，緊扣主線．在函數f(x)=x2圖象上「譜好」函數單調性教學的「三步曲」．
①以學生熟悉的函數f(x)=x2為例，讓學生從圖象上獲得「上升」「下降」的整體認識，初步認識函數單調性．
②通過觀察函數f(x)=x2的x,y對應值表格提出猜想，通過幾何畫板軟體加以驗證，用數學語言「f(x)隨著x的增大而增大」 來描述 「函數f(x)=x2的圖象在y軸右側是上升的」，進一步認識函數單調性．
③通過觀察、猜想、分析、驗證、證明的過程，從而用數學符號語言定描述函數f(x)=x2在(0,+00)的單調性.最後通過類比，用數學符號語言定義一般函數的單調性．
（3）注重思想方法的培養．從函數f(x)=x2圖象的觀察出發，經歷從直觀到抽象，從圖形語言到數學符號語言，進而理解增函數、減函數、單調區間概念的過程中，感悟數形結合思想、特殊到一般思想．掌握通過觀察圖象，先對函數是否具有某種性質做出猜想，然後通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，這一研究函數性質的常用方法．
（4）注重數學應用意識的培養．在整個教學過程中，通過溫度曲線創設情境，找準切入點，進入新課．在練習1（1）中，利用溫度曲線構造反例，幫助學生理解函數單調性中的「任意性」．在歸納反思中，利用溫度曲線說明學習函數單調性知識具有實際意義．
五、教學過程
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