考慮到下學期要講必修第二冊，新教材的安排與舊教材在此開始顯著不同，所以，思考教材編寫者為什麼這樣安排，就成為了我備課必不可少的一個環節。在整理資料時發現電腦裡存有章建躍教授的一篇《核心素養導向的教學改革——以向量為例》的講座課件，仔細閱讀，將其中對我有啟發的部分摘選出來與大家分享，方便隨時查閱，同行老師們可以用來備課，學生們在預習時也能用上。
1、幾何的研究對象是什麼？
空間的最基本概念是「位置」。幾何中，「位置」用什麼來標記？空間中兩個位置之間的差別用什麼來標記？「位置差別」用什麼幾何量來加以定量化的刻畫？如何刻畫直線的「直」、平面的「平」？
2、度量是數學的本質所在
幾何學是關於幾何圖形的形狀、大小、位置關係的科學。點、直線、平面是基本幾何圖形，源於對現實事物的抽象——純粹的數學對象。 「位置」是宇宙空間的最基本要素，位置用「點」表示；直線段是連接兩點的最短通路，兩個點的位置差異用線段的長度表示。直線由點組成，直線的「直」用點與點之間的關係來刻畫；平面由點、直線組成，平面的「平」用點、直線的關係，用直線的「直」來刻畫。
3、「方向」是另一個基本概念
幾何中，「方向」用什麼來表達？兩個方向的差別用什麼來度量？
平面上的一條射線表達了一個方向，一條直線則是具有兩個相反的方向。兩條共起點的射線，在方向上的差別也就是∠BAC的角度，即角度是其方向差的度量。
4、向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景。向量既是幾何研究對象，也是代數研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁。向量理論是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮重要作用。
5、如何理解向量既是幾何對象也是代數對象？
幾何對象是圖形（點、線、面、體）及圖形關係的抽象，向量作為幾何對象，主要是向量的幾何表示及用向量刻畫空間圖形的概念、性質、關係和變換；
代數對象是數量及數量關係的抽象，代數的核心是運算，向量作為代數對象，主要是向量運算的法則和運算律。
6、向量是怎樣的基本工具？
向量集數與形於一身，利用它可以方便地為代數（特別是線性代數）建立幾何直觀，同時也可以通過代數運算（向量運算）解決幾何問題。因此，向量是現代數學的重要研究工具。
向量集大小與方向於一身，為解決數學中最本質的問題——度量（長度、角度）提供了工具。向量及其運算都有明確的物理背景，所以也是解決實際問題的重要工具。
7、向量概念的抽象要完成哪些事？向量的表示要「表示」什麼？
要完成的事：定義——表示——基本性質
定義：確定向量的內涵，規定向量相等的含義。（為什麼要先定義「相等的含義」？）
表示：向量的要素是大小和方向，因此要用集大小和方向於一身的數學符號，而且要有幾何和代數兩種表示——有向線段和代數符號。
向量的基本性質：要素的基本關係，體現在向量的大小關係與向量的方向。
8、為什麼「向量是自由的」？
向量有大小和方向兩個要素，兩個向量如果方向相同（或相反），那麼它們平行，而平行具有可傳遞性，所以向量可以「自由平移」。自由的向量才有力量！例如，如果向量不自由，那麼「三角形法則」和「平行四邊形法則」就無法統一。
9、向量的線性運算規則的定義關鍵要解決什麼問題？
關鍵是解決「方向的運算」。所以，加法的最佳背景是位移，減法的最佳背景是物體受力平衡（相反向量）。強調運算規則的代數表示和幾何意義。
10、如何發現和提出運算性質？
因為向量有大小（代數）和方向（幾何）兩個要素，所以運算性質也要從代數和幾何兩個方面來考慮。
加法運算：幾何角度——共線向量的加法特點（與代數和一致），三角形不等式；代數角度——交換律、結合律。特別注意，加法的交換律（代數）是平行四邊形性質（幾何）的代數表示。
數乘向量：幾何角度——向量方向上的長度伸縮；代數角度——交換律、結合律、分配律（針對數的分配律和針對向量的分配律）。特別注意，k(a+b)=ka+kb是相似三角形性質定理的代數表示。
向量運算及其運算律（特別是分配律）反映了最基本的幾何圖形的性質，因此可以通過向量及其運算推導幾何性質，解決幾何問題。
11、向量基本定理「基本」在哪裡？
利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質和基本定理的運用轉化成為向量運算律的系統運用：
點——（以確定點為始點的）向量；
直線——一個點A、一個方向a定性刻畫；引進數乘向量ka，可以實際控制直線。特別地，在軸x上取O為原點，e為方向向量，則軸上任意一個向量a=te，t就是軸x上的一維坐標，這也叫一維向量基本定理及坐標表示。
平面——一個點A、兩個不平行（非0）向量a，b在「原則」上確定了平面（定性刻畫，這與「兩條相交直線確定一個平面」有異曲同工之效）；引入向量的加法a+b，結合數乘向量（向量伸縮），平面上的任意一點X就可以表示為λa+μb，從而成為可操縱的對象(定量刻畫)。
12、為什麼要研究向量的坐標表示？
一個明顯而主要的理由是，利用向量的坐標表示，可以實現用代數方法表示幾何基本元素，由此就可以用代數方法表示幾何圖形和圖形的關係，這樣就徹底實現了幾何對象代數化！就可以用代數方法研究幾何問題了。
用代數方法刻畫幾何對象，進而用代數方法論證幾何關係，其中間橋梁就是向量。
13、幾何中的「向量法」
向量法的本質，首先是讓幾何量帶上符號，「對比把長度、面積、體積考慮為絕對值的普通初等幾何學，這樣做有極大的好處。初等幾何必須依照圖形呈現的情況而區分許多情況，而現在用幾個簡單的一般定理就可以概括。」 （F·克萊因 ）
（1）符號所表達的幾何要素是方向，所以幾何量帶上符號，從而就使幾何量的運算包含了「方向的運算」。
（2）向量法中使用的幾個「一般定理」是：
向量加法法則（向量迴路）；向量數乘的意義及其運算律；向量數量積的意義和運算律（特別是相互垂直的向量數量積為0）；向量基本定理。
（3）為什麼「用幾個簡單的一般定理就可以概括」？
向量迴路與三角形定義一致，三角形是最基本、最重要的幾何圖形，是整個歐氏幾何的基礎；向量數乘與三角形相似的緊密聯繫；平面向量基本定理與平行四邊形的性質一致；平面向量數量積與餘弦定理等價；等等。
向量法是以基本的幾何圖形及其相互關係為出發點解決問題，由此可以把眾多的知識串聯起來，形成有機聯繫的整體。
向量集數與形於一身，向量運算既是數的運算，也是圖形的運算，根據圖形列出向量等式，使計算與圖形融為一體，這是體現向量法解題特點的關鍵。
14、為什麼在向量中安排解三角形內容？如何提出「解三角形」的課題更自然？
首先，從定性到定量，提出研究課題。由S.A.S.，A.S.A.，S.S.S.可知，三角形的形狀、大小已經由這三組要素分別唯一確定。這是定性的結論。
數學研究往往是先做定性探究，再做定量分析。這是一個由表及裡、逐步精確、精益求精的自然進展。從定量的角度看，上述三個定理表明，三角形的任意元素可由這三組要素分別唯一確定。
三角形的三邊邊長、三個內角的角度、面積、高、外徑、內徑等等幾何量都可以用這三組要素分別表示。這些幾何量之間存在的基本函數關係就是三角定律。
那麼，如何推導這些基本關係？
由S.S.S.求三內角，對Rt△ABC，∠C=90°，有cosB=a/c，cosA=b/c。對銳角三角形、鈍角三角形，與直角三角形聯繫起來，可以發現如下關係：銳角△ABC1就是將Rt△ABC的直角頂點C沿BC方向「外移」到C1；鈍角△ABC2則是將Rt△ABC的直角頂點C沿CB方向「內移」到C2。因為「內外有別」，因此需要分類討論。
還可以研究哪些問題？
（1）三角形的其他元素，如外徑、內徑、高、中線、角平分線……，如何求解？
（2）還有哪些推導兩個定理的方法？——聯繫已有知識，給出不同證明方法，通過建立知識的聯繫，發展數學認知結構，增進數學理解。
而在不同推導方法的探求中，一個自然的想法是：上述餘弦定理的推導需要分類討論，能避免嗎？
方法的改進源於對已有方法的反思。
分析引起分類的原因時，把三類三角形放在一起，用連續變化的觀點看待而發現藉助向量可統一三種情況。這裡需要很好地把握向量的本質，其中對「方向」的敏感性起到關鍵作用。
數學教學的根本任務是發展學生的思維能力，說到底就是要使學生在面對問題時總能想到辦法。注重一般觀念的思維引領作用，可以提高思維的系統性、結構性，有效克服「做得到但想不到」的尷尬，使數學的發現更具「必然性」，是實現數學育人目標的重要途徑。
15、向量教學中的問題與改進
對向量及其運算的本質的理解不夠深入，特別是對「向量集數與形於一身」的含義、「方向」的重要性及其數學表達的意義、用向量研究圖形位置關係和數量關係的優勢等缺乏必要的思考。
沒有反映向量法的本質，披著向量法的外衣，實際上還是綜合幾何的方法。
把向量法中的代數化曲解為「坐標運算」——窄化了向量法的應用範圍。
改進：加深對「方向」的重要性的認識，加強從四個「一般定理」出發思考和解決問題的教學，加強「代數運算」和「圖形運算」的結合。
就數學學科而言，新教材與舊教材在知識點上並沒有特別巨大的差別，而在知識點的安排上卻有明顯的改變，這種調整是否是最合適的？如何應對這種知識點調整帶來的學情分析？如何更好的幫助學生塑造知識體系與知識框架？……這些都是我在教授新教材之後不停在思考的問題。
或許這個問題的答案並不會短時間就呈現出來，但卻是我不斷思考的方向。
有人會說，知道這些幹啥？會做題不就可以了嗎？
著名數學教育家弗賴登塔爾曾經這樣描述數學的表達形式：
我還是希望我的學生，不僅僅「知其然」，更能「知其所以然」，要是有一天能做到「何由以知其所以然」，就再好不過了。
有效的數學教學依賴於深刻理解的學科知識。教師必須能夠做他們要教的數學，但是僅此而已對教學來說是不夠的。有效的教學需要理解隱含的意義，並說明教學的觀點和程序，能夠建立主題同主題之間的聯繫。