邏輯基礎問題
[美]G．謝爾 文 劉新文 譯
原發：《世界哲學》 2017年04期
劉新文老師授權發布
哲學園鳴謝
提要：為邏輯構建一個系統的哲學基礎，這是一個異常困難的問題。我在本文上篇提出，這個問題在很大程度上屬於方法論問題，需要處理傳統的基礎性方法論「基礎主義」。這個方法論原則上無法為非常基本的學科提供基礎，而邏輯就是這樣一門學科。為了完成這一任務，我替換了這一方法論，而代之以新的「基礎整體主義」。基礎整體主義把強烈的基礎性要求(真與正確性證明)與非傳統的、「整體主義」的工具組合起來為知識提供了一個基礎。這一組合使得它甚至可以為邏輯這樣最為基本的學科構造嚴格的基礎。
關鍵詞：邏輯基礎問題；基礎主義；基礎整體主義
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上篇
一個有趣的事實是，除了少數幾個例外，關於邏輯系統的哲學基礎、即邏輯的基礎而非數學或語言的基礎，很少有人嘗試去構建之。本文的目的是推斷出現這種情況的原因，根據這種理解建立一個合適的基礎性方法論，並用這種方法論為邏輯建立一個綱要性的哲學基礎。哲學基礎這個概念對有些讀者來說是清楚的，但由於本刊讀者的多樣性，簡單說明一下我心目中的那種哲學基礎以及我的動機還是很有必要的。
在本文中，邏輯的哲學基礎指的是一種實質性的哲學理論，它批判地考察和解釋邏輯的基本特徵、邏輯在我們理論和實踐生活中所執行的任務、邏輯的正確性——包括邏輯的和元邏輯的斷言的真和假的來源(2)、邏輯理論應該被接受(或被拒絕或被修正)的根據、邏輯理論被心靈和世界所限制和促成的方式、邏輯與相關理論(如數學)之間的關係、邏輯規範性的來源，等等。這個清單在原則上是開放式的，因為不同的人和團體在現在和將來都可能會提出新的令人感興趣的東西並加以關注。此外，這一研究本身很可能也會提出新的問題(要求建基於實在中的時候，邏輯是否和其他學科相同、邏輯算子與眾不同的特徵是什麼，等等)。
本譯文系國家社科基金項目「邏輯基礎問題研究」(項目編號：16BZX079)的階段性成果。因原文較長，將分三期連載發表。——譯者
①最近的一個例外是馬迪(Maddy，2007：PartII])，-9我們的區別在於其徹底的自然主義。另外一個具有心理學傾向的嘗試是漢納(Hanna，2006)。由於篇幅和本著構造性的目的，我儘量把比較-9論戰減到最少。
②從特殊的對象語言斷言如「沒有對象既是圓的又不是圓的」到一般的元語言斷言，如有些推理形式是邏輯上有效的或無效的。
這種基礎理論並沒有打算是絕對可靠的，像人類所有其他理論一樣，它也遵從自身領域(現在指的是哲學和元邏輯)的標準，並且存在批評和改進的可能。它所尋找的基礎是寬泛意義上的邏輯——即邏輯這個學科而非特殊的邏輯理論——的基礎，但它必須為我們提供工具來批評、辯護、評價、構建和改進特殊的理論。批判性的考察、正確性方面的辯護、認知上的評價等等以及為這些任務創造理論工具，這些要素正是我在本文中稱為「建基」的主要元素。
從事這種基礎性計劃的動機既是普遍的也是特殊的、既是知識的也是實踐的、既是理論的也是應用的。這個研究計劃的動機部分地源自於這一興趣，即為一般意義上的知識提供基礎——這個基礎既要適合於作為整體的人類知識又要個別地適合於每一個知識領域(邏輯就是這樣一個領域)。而這一動機部分地又是專門針對邏輯而來的、源自於邏輯的獨特之處：邏輯的極端「基礎性」、普遍性、模態力量、規範性、阻止一種特別具有破壞性的錯誤類型(邏輯矛盾、不一致性)的能力、(通過邏輯推理)擴充所有類型的知識的能力，等等。而在這兩種情形之中，興趣都既是知識的也是實踐的。最後，我們的興趣既是理論的也是應用的：我們既想對邏輯推理的本質、憑據及範圍進行系統的理論說明，也對它在特殊領域的應用深感興趣。
既然邏輯的基礎性計劃範圍寬廣，本文也就不存在籠括其全部內容的問題。我孜孜以求的是找到一個富於成效的立場，然後從這個立場出發著手處理這一計劃並進行建設性研究，以統一的方式處理它的一些關鍵問題。這樣一個研究將成為一個更為徹底的基礎的出發點，並且同樣重要的是，它將成為對邏輯基礎進行進一步理論討論的催化劑。
但是，邏輯是一門非常廣泛的學科，我們的研究並沒有打算應用到它所有的分支，而只是集中於我們目前常常稱之為「數理邏輯」、而在早先的歲月中也以三段論邏輯、弗雷格邏輯和類型論邏輯等形式出現的這樣一個分支之上。而且這裡主要關注的甚至只是這一分支的有窮主義形式。這些和其他一些自我強加的限制將會使我們更加具體地針對我們在本文中關注的問題，也給我們提供了空間來討論數理邏輯學家和哲學邏輯學家都會有興趣的幾個問題，例如費弗曼對他命名的「塔爾斯基一謝爾論題」的批評(Feferman，1999；2010)、邏輯與數學的關係、把結構主義從數學擴展到邏輯的可能性以及與模型論邏輯相關的一些主題。
剛才我已經說過，很少有為邏輯構造一個哲學基礎的系統嘗試。但是，難道19世紀末20世紀初不是「邏輯與數學中的基礎研究」時期、一個確實在這個領域中取得了非凡發展和卓越成就的時期嗎?答案是肯定的，但需要注意的是，那時候確實有基礎研究以及開創性發展，但這些研究和發展在很大程度上是為數學提供基礎，而邏輯如果在其中起了重要作用的話也主要是工具性作用，例如弗雷格建立了一個邏輯系統準備為數學提供基礎，但除了一些提示之外並沒有試圖為邏輯本身提供系統的哲學基礎。羅素改進並進一步發展了弗雷格的邏輯主義，但是，儘管對邏輯本身需要提供系統的哲學解釋(這種解釋將回答「邏輯命題由於什麼而為真?」這樣的問題)極為重視，他也對完成這個任務喪失了信心。因此他說：很明顯，邏輯的基本特徵就是當我們說邏輯命題由於其形式而為真的時候所表明的那些東西??但是我承認，說一個命題「由於其形式而為真」究竟是什麼意思，我無法給出任何清楚的說明。(Russell，1938：xii)
的確，元邏輯中(由希爾伯特、哥德爾、圖靈和其他人所作出的)許多重大發現通常都被稱為是對「元數學」的貢獻。然而這些劃時代的成就並非與邏輯基礎問題沒有關係，恰恰相反，他們通過建造精緻複雜的邏輯架構並確立其數學性質從而為邏輯的理論基礎培養了沃土。所以，令人更為驚奇的是，2O、21世紀的哲學家竟然很少有人迎接這一挑戰。許多人都認為邏輯的實質性理論基礎是不可能的，有一些人則認為是不必要的，而相當多的人僅僅滿足於說邏輯是顯然的，還有一些人卻認為邏輯是規約的，因此無需基礎，等等。
對邏輯基礎問題的哲學研究進行迴避的傾向並不限於最近這段時間。我們在l7、18世紀的偉大哲學系統中也可以看到這一點。以康德為例。無需對康德的邏輯哲學進行學術性闡釋我們也可以注意到，康德對邏輯的研究非常不同於他對其他學科的研究。當康德開始為人類知識整體提供一個基礎的時候，他主要是把形式邏輯作為前提條件的。康德強調，邏輯自亞里斯多德以來並不需要作出重大修正，即使存在澄清和調整的空間，也無需建立邏輯的「可靠性」：
邏輯學大概是自古以來就已經走上這條可靠的道路了，這從以下事實可以看出：它從亞里斯多德以來已不許作任何退步了，如果不算例如刪掉一些不必要的細節、或是對一些表述作更清楚的規定這樣一些改進的話，但這些事與其說屬於這門科學的可靠保障，不如說屬於它的外部修飾。(Kant，1781／1787：Bviii)
由於認識論學家們認識到邏輯在知識中具有特殊的身份，為邏輯提供理論基礎的嘗試的匱乏因而特別值得注意。例如，比較一下邏輯學與物理學。通常認為，物理學受邏輯學法則的約束，而邏輯學不受物理學法則的約束，邏輯中的一個嚴重錯誤有可能破壞我們的物理學理論，但是物理學中的嚴重錯誤卻不會破壞我們的邏輯學理論。而且理所當然的是，一個給定的知識領域越是普遍、越是基本、越是規範，為其提供基礎就顯得越是重要。縱使如此，邏輯的理論基礎、尤其是不平庸的基礎卻鮮有人嘗試去構建。為什麼呢?
很明顯，未能建立這樣一個基礎的原因並不是因為忽視、疏忽或者知識上的局限。邏輯與元邏輯中非同尋常的進展以及為數學和科學構建哲學基礎的大量實踐都說明，忽視或者知識上的不利因素都不是問題所在。在我看來，問題的根源在於方法論方面。通常的基礎方法論的某些特徵使得它在為邏輯構建一個哲學基礎時很成問題，所以，邏輯基礎問題首先遇到的就是要處理方法論上的困難。
一、方法論
(一)基礎主義的幻想
自從哲學肇始於古希臘以來，為知識提供基礎的方法一直都是基礎主義方法佔據著統治地位。基礎主義致力於把所有人類知識建立在(I)基本知識和(II)知識擴展程序的堅固基礎之上。一般來講，基本知識被要求是明確的，而知識擴展程序則必須是無可爭議的。就信念來說，這個思想是，一個給定的信念構成知識，若且唯若它是基本的或者是根據一個絕對可靠的程序從基本信念得來的。就知識系統(構成我們理論知識整體的、部分理想化的學科類觀念)來說，這個思想是，一個適當的知識系統具有兩種單位——基本的和非基本的(「導出的」)；每一個基本單位都明確地為真，每一個非基本單位都通過高度可靠的程序而「繼承」某些基本單位的真。基礎主義旨在以一種簡單直接的方式為知識提供一個基礎：
(I)基本知識通過直接經驗、理性直覺、規約等直接地建基於實在(世界)⑧或者其他任何可以建基的事物之中；
(II)非基本知識通過(演繹、歸納和其他可能的)可靠的知識擴展程序間接地建基於實在或者其他任何可以建基的事物之中。
基礎主義系統的顯著特徵是它們的嚴格排序。基礎主義在我們的知識系統上強加了一個足道的排序要求，樹和金字塔等比喻形象地體現了這一要求。這個要求是說，基礎關係典型地(1)是禁自反的、非對稱的④和傳遞的；(2)擁有一個由極小(初始、原子)成分組成的絕對基礎；(3)通過一條有窮鏈把每一個非極小成分與一個或多個極小成分連接起來。基礎主義認識論的這個顯著特徵既是有利條件也是不利條件——既是它極具吸引力的來源也是它最終失敗的原因。一方面，基礎主義可以把我們整個知識系統建基於實在之中這一難以處理的任務，歸約為只把其基本成分建基於實在之中這一(似乎)容易處理的任務。另一方面，基礎主義沒有資源為基本知識成分建立基礎。這是基礎主義認識論的基本知識困境。起初使得基礎主義如此具有吸引力的這個嚴格排序嚴重妨礙了它兌現承諾。由於基本知識單位位於基礎主義層譜的底端，沒有單位(或單位的組合)可以被合適地安置以產生為基本單位建基所必不可少的資源。
我們對此可以用推理形式表述如下：
1．為了給x建立基礎，我們只能使用比X生成的資源更為基本的資源，這是基礎主義認識論的一條核心原則；
2．我們知識系統的基礎被歸約為基本單位的基礎，這也是基礎主義認識論的一條核心原則；
3．基礎主義認識論的另外一條核心原則是，我們的知識系統不能生成比基本單位生成的資源更為基本的資源。
結論1：沒有知識單位可以產生適合於基本單位建基的資源。
結論2：沒有知識單位可以產生適合於我們知識系統建基的資源。
邏輯由於其特殊的性質(尤其是其高度的普遍性、直觀上的基礎性、規範性力量等)而被基礎主義歸類為「基礎學科」，基礎主義無法為邏輯提供基礎。把邏輯置於基礎地位，意味著雖然邏輯可以為其他科學提供(或參與提供)基礎，但沒有科學(或科學的組合)可以為邏輯提供基礎。不過，由於邏輯中的一個嚴重錯誤就會動搖我們整個知識系統，因此有必要為邏輯找一個基礎。也許這樣一個基礎可以把邏輯建基在實在之外的某些東西(可以設想為心靈)之中；但是考慮到基礎主義所遭遇的困境，必須為邏輯提供一個堅實的基礎。這絕對必要但又難以做到。既然假定了(I)任何作為邏輯基礎的資源都必須比邏輯本身產生的資源更為基本，以及(II)沒有資源比邏輯產生的資源更為基本，這就致使基礎主義無法用我們的知識系統為邏輯構造出基礎。這是它應用到邏輯時的基本知識困境。
③我在本文中把「實在」與「世界」當做同義詞來用。
④具體地說，非對稱性指的是兩條不同的知識a和b的建基不能採用「a被b所證明(許可)並且b被a所證明(許可)」這種形式。雖然非對稱性為禁自反性和傳遞性所蘊涵，我還是願意把它明確地表述出來。
這一困境為基礎主義留下了兩個可供替代的選擇：(a)證明邏輯根本就不需要有基礎，或者(b)證明無需使用我們知識系統產生的任何資源來為邏輯提供基礎。
替代方案1：邏輯無基礎。基礎主義者可以嘗試為「無基礎」方案進行辯護：因為(對任何人來說，不管是基礎主義者還是非基礎主義者)不可能為邏輯提供基礎，所以挑剔基礎主義者沒能為邏輯提供基礎是不公平的。或者他們可以論證說，不管選擇什麼方法論，建基過程總會停止在某個地方；為什麼不停止在邏輯這裡呢?但是，這兩個論證都不能成立。從為邏輯提供基礎的不可能性推出的，是基礎主義的非可行性而不是它的不可責性。如果基礎主義為履行其工作而必須完成一項不可能的壯舉，那麼基礎主義就必須被拋棄而不是被諒解。如果認可了建基過程停止於某處的實踐必要性，那麼就基礎主義本身而言，並不是所有的停留處都是平等的。層譜中層級高的領域如果沒有基礎的話幾乎不會對整個結構帶來後果，但層級低的領域、尤其是聯繫廣泛的低層級領域如果沒有基礎的話則會帶來嚴重的後果。如果邏輯沒有基礎，那麼由於它在基礎主義層譜中所處的地位，整個知識系統就會沒有基礎。層級高的學科如果沒有基礎的話就會削弱它存在的理由，而基礎學科如果沒有基礎的話則會破壞它的完整性。
替代方案2：不用我們知識系統所產生的資源的基礎。這似乎是解決基本知識困境的備選方案。許多擁護者可能都會說，基本單位的基礎在性質上不同於其他單位的基礎，這是基礎主義方法所固有的。前者利用的不是以知識為基礎的資源，在這種意義上，它是無需支撐物的——可以說是「不勞而獲的」基礎。無需支撐物的邏輯基礎有三個競爭者：(a)純粹直觀；(b)常識顯明性；(C)規約性。但是所有這三者都非常有問題。從柏拉圖主義中耳熟能詳的問題到「顯明性」的不可靠性和規約引入錯誤的可能性，這三個競爭者是否可行都是非常值得懷疑的。我們無法排除各種克服基礎主義固有障礙的嘗試中都具有內部修正的可行性，但是從這些障礙的嚴重性看來，還是尋找一個新的方法論策略更有希望。
(二)「非基礎主義的基礎」策略
如果我們的批評大部分都是正確的，那麼在為邏輯(以及一般地為我們的知識系統)構造基礎時，就必須排斥傳統的基礎主義策略。基礎主義策略在相當長的時間中確實是我們僅有的基礎策略，因此它的許多特點早就纏繞在我們的基礎觀念之中，但是這種纏繞可以、也應該被解開。實際上，它已經被20世紀整體主義的或反層譜的策略挑戰過。本文所用的「整體主義」源於奎因對這個詞的使用，它依照奎因(Quine，1951：section6)⑤所描述的內容，強調各項知識之間非層譜的龐大關係網絡的存在。但是整體主義路線常常導致對基礎性計劃的徹底放棄，在這個方面我不願意效仿。我的目標在於提出一種認識論策略，它既能擺脫基礎主義策略中那些不必要的妨礙，又能強有力地致力於建基計劃。仿效夏皮羅(Shapiro，1991)的說法，我稱這種策略為非基礎主義的基礎。
基礎性的但非基礎主義的方法，其關鍵之處在於把我們從基礎主義方法論的嚴格排序這個要求中解脫出來。如果我們想要的基礎關係是嚴格有序的，那麼留給我們的唯一路線就是基礎主義路線(或類似的東西)。但基礎關係為什麼必須要求具有這種特殊的形式結構?為什麼構成以往認識論基礎的「基礎」形象還控制著我們今天對基礎的尋找?誠然，邏輯本身確實為嚴格排序的辯護方法提供了一個榜樣，但是，做邏輯和為邏輯提供哲學基礎是兩個不同的事情。
⑤在哲學文獻中，這種類型的整體主義有時候被稱為「驗證整體主義(confirmationholism)」，但我在這裡並不使用這個詞。我在本文將建立一種適合於基礎研究的整體主義類型，並且把它與其他類型的整體主義區別開來。但此時此刻，我以一種更通用的方式使用「整體主義」。
然而，僅僅放寬基礎主義的排序要求並不會自動地得到一個更好的理論。擺脫嚴格排序禁令的整體主義學說的主要例子是融貫論——把我們各種信念和理論的融貫性或它們之間的內部關係作為它們辯護中的主要因素。⑥在激進的融貫論中，建基於實在之中(grounding．in—reality)在知識的辯護中不起任何作用，而在其他融貫論中，它的作用則各不相同，取決於所考慮的融貫論的特定版本。(為了繼續我們的推理路線)我們現在只考慮激進的融貫論；我們可以說，這一融貫論不僅是反基礎主義(anti—foundationalist)的，而且根據我們對「基礎性(foundationa1)」的認識，它也是反基礎性(anti．foundationa1)的。⑦其實，基礎主義和(激進的)融貫論分別標誌著基礎一無基礎這一區分的兩個極端。我們可以把這兩種方法論刻畫如下：
圖1
但是很容易看到，基礎主義和融貫論並沒有窮盡上述參數的所有可能布局。一種被忽略的布局如下：
圖2
這一布局允許我們在整個建基過程中採用所有可用的資源，包括由我們的知識系統所生成的資源，但是它對所有學科的正確性的實質性基礎這一要求並沒有放鬆。這裡的關鍵思想是，在正確性基礎(以真為中心的建基或辯護)的要求，與並不使用我們知識系統的任何部分所產生的任何資源來建基的某些知識類型的要求這二者之間，並沒有內在的聯繫。如果我們假定所有的基礎關係都必須滿足基礎主義排序要求，那麼二者就會聯繫起來，但是這種假設是沒有保證的。有時候也可以說，嚴格排序是避免無窮倒退和循環的需要，但是人們普遍認為，倒退和循環並不總是惡性的。畏懼所有形式的倒退和循環並不是無條件地接受嚴格排序要求的結果，更不是原因，其實這一點現在還不是很清楚。
⑥例如，參閱柯凡維哥(Kvanvig，2007)。
⑦非激進的融貫主義可以參見萊勒(Lehrer，1974；1990)和邦茹(BonJour，1985)。但是，由於不清楚它們是否和我一樣把重點放在知識——包括邏輯知識在內的所有知識——在實在中的基礎方面，我偏向於把他們的知識觀念與我的知識觀念之間的關係作為有待討論的問題。所以我為我的立場使用一種不同的稱呼——「基礎整體主義」——一個信息量也很大的稱呼。
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作為紐拉特之船的方法論，基礎整體主義與眾不同的特點之一就是，可以用一種合乎情理的靈活方式處理循環。所有的循環形式都被基礎主義所禁止，但這既不是必要的也不是令人滿意的。不必要乃是因為並非所有的循環形式都具有破壞性，不令人滿意乃是因為(I)它妨礙我們從事那些完全理性的、富於成效的活動，(II)它使我們喪失了對強有力的認知工具的使用。我來詳細解釋一下。
我在本文中把循環理解為，在批評性地研究x、為x建立基礎理論以及為x進行辯護的時候使用了x或x的某些成分。現在毫無疑問的是，為了給邏輯提供理論基礎，在邏輯工具之外，我們還需要使用其他工具。問題在於，我們在這一事業中是否可以正當地使用一些邏輯工具。考慮到邏輯的基礎性，這又是不可避免的：不使用某種邏輯的話，我們對任何事情進行理論化的時候都不能前進一步；特別地，不使用某種邏輯的話，我們無法對邏輯本身進行理論化。
但是，循環的使用會與基礎性計劃相容嗎?基礎整體主義肯定地回答：「是。」雖然簡單粗暴的循環(「P；所以P」)帶來不受歡迎的平庸效果，但在其他情況中會有一些方法把這種效果降到最小。避免平庸性的一個重要策略是在基礎性混合物中引入多種多樣的元素。為了給x提供一個基礎，我們可以把X的某些成分與x之外的其他東西以及涉及x(與x有關)的東西的可能新的組合物組合起來使用。由此，循環被局部化了。在每一個階段，我們只使用x的一部分，在不同的階段，我們只使用x的不同部分，我們在x的成分中加人其他東西，我們總是存在修正x的可能性。這是基礎整體主義方法的獨特性質。我們可以利用船上的某一小塊修補處作為立足點，收集資源來製造一塊新的、更好的修補物來替換它，以同樣的方式，我們也可以使用我們當前邏輯理論的成分為這種邏輯的建基創造資源、查找缺陷，改進甚至替換這種邏輯。隨後，我們會看到如何使用我們當前邏輯理論的成分連同其他東西來研究邏輯建基在實在之中、為邏輯性建立一個標準、研究邏輯與數學之間的關係、為批判地評價特殊的邏輯理論(包括我們使用的這種邏輯)創造工具，等等。這一進程有一個特別富於成效的作用，它一前一後地為兩個學科建立基礎，或者至少能理解它們如何一前一後地發展、其中一個逐步從另外一個連續地獲取資源。我們隨後對邏輯與數學的交織發展所作的說明就是一個恰當的個案。
有人可能擔心循環會把錯誤引入到基礎性研究當中來，那些腦海中仍縈繞著19世紀末20世紀初毀滅性悖論的人對這種危險尤其敏感。他們可能擔心，通常被解釋成包含了自指、非直謂性及類似現象的循環會導致羅素悖論和說謊者悖論那樣的悖論。但明顯的是，並不是所有的循環都這樣具有破壞性。畢竟，我們的循環推理範例「P；所以P」在邏輯上是有效的，就其本身而論並不會把錯誤引入任何理論。雖然這也不會使它適用於基礎性研究，但證明了循環本身並不會把錯誤引入我們的理論。
⑧關於指稱途徑和對應途徑的更為一般性討論，參見謝爾(Sher，2013)的討論。邏輯基礎問題(上)
在基礎性研究中，人們為阻止循環而可能引用的另外一個理由是，它或許會妨礙錯誤的發現。例如，人們很可能會認為，只要我們在發現過程中必須使用我們的邏輯原理，我們就不能指望在這些邏輯原理中發現錯誤。我認為情況並非如此。當然，對循環的不慎使用將不利於錯誤的發現，而謹慎地使用則不會如此。使用邏輯並不意味著被邏輯的使用所蒙蔽。例如羅素對弗雷格邏輯中的悖論的發現。在發現這一悖論的過程中，羅素已經使用了某種邏輯。那麼他用的是哪種邏輯?很明顯，他已經使用了一種非常強的、比方說比句子邏輯更強的邏輯。但是，那時候還沒有(他發現該悖論之後、很大程度上是為避免該悖論而發展起來的)類型論邏輯以及帶有公理集合論的標準一階邏輯。幾乎可以肯定的是，他用的是與弗雷格邏輯類似的東西，只是他靈活地、節制地、部分地、動態地、批判地以及機智地(與某些部分保持距離、從一個部分換到另外一個部分等)使用它，因此使該悖論顯露真相。一個類似的也許更為明顯的情況是，「它謂性」悖論的發現幾乎可以肯定是使用了對語義悖論敏感的語言才做到的。同樣，說謊者悖論也是在對這樣一些悖論不具免疫力的語言中發現的。
實際上，對循環的謹慎使用可以提高我們的認知力量。這一點在元邏輯中已經有過著名的論證，其中，哥德爾藉助於(同一個)句法來表徵句法的方法表明了我們可以從批判地使用循環中受益這一極大優點。可以促進我們認知目標的循環，我稱之為「構造性循環」⑨。的確，構造性循環是羅爾斯(RaMs，1971)的反思平衡法、格萊莫爾(Glymour，1980)的自助法(bootstrapmethod)、古普塔與貝爾納普(Gupta&Belnap，1993)的修正方法以及其他許多哲學方法的組成部分。⑩
不過，雖然基礎整體主義允許對循環(尤其是構造性循環)有某些運用，但它並沒有對循環不加區別地認可，注意到這一點是很重要的。基礎整體主義辨識出了循環的危險與好處。它要求，作為理論家，我們要時刻保持警惕以避免破壞性循環，然而它同時也鼓勵我們利用構造性循環並尋找新形式的構造性循環。此外，為了避免破壞性循環，它也需要我們作出某些妥協(例如，通常把模型限制在由真正的集合所組成的論域)，而且最重要的是，它要求我們批判性地、謹慎地使用循環。
有了基礎整體主義方法論，我們就可以進人到解決邏輯基礎問題的第二個部分，即構造性部分。我們下一個任務是使用這一新的方法論為邏輯構造一個實際的基礎。由於這一方法論並不確定一個實際的基礎、更不用說唯一的基礎，我們還需要從事一系列的深入研究以得出這樣一個基礎。在這項任務中，我把邏輯基礎問題處理成一個理論問題，類似於科學、數學、邏輯和哲學中研究的其他理論問題，而不是對我們關於邏輯的前理論直覺進行清楚解釋的問題。所以，本研究將會對普遍流行的邏輯觀念的某些組成成分進行批評，並且對它的某些部分提出修正意見。我相信也應該這樣。我還要指出的是，在為邏輯尋找基礎時，我將不會關注邏輯在自然語言中的使用，這一點不同於20世紀許多對邏輯的哲學討論。我關注的是邏輯的正確性、它對我們整個知識系統的貢獻以及它與數學的關係。⑩(待續)
⑨這裡的「構造性」僅用作「破壞性」的反義詞。與元邏輯／數學或邏輯哲學／數學哲學中的術語「構造性」沒有聯繫。
⑩羅爾斯的方法強調特殊判斷與一般原則之間的來回往復(backandforth)，其中前者例示了後者，而後者概括了前者，使用它們相互驗證、直到得出一個「反思平衡」。格萊莫爾的方法允許使用一個給定科學理論中的某些假設以幫助這一理論(或其某些部分)的驗證。古普塔與貝爾納普的方法通過利用與循環的概念有關的修正過程使我們可以了解並處理這些概念。
二、基礎大綱(下篇)
(三)紅鯡魚和真正的問題
對邏輯性作為充分必要條件的批評集中於邏輯常項在自然語言中的使用上。這些批評的焦點是，自然語言中存在一些據說滿足邏輯性的兩個部分但直觀上似乎仍是非邏輯常項的表達式。我們目前的基礎性計劃的中心是理論性的，它所關tl,的問題是認識上的，而其旨趣則在於構造一個邏輯系統以滿足某些理論認知作用，根據這個觀點，這些批評在很大程度上都是不相干的。①
其他一些批評所關注的問題與目前的研究更為相關，對此我們必須在這裡認真考慮。這些批評的豐富素材參見費弗曼的論文。(cf．Feferman，1999；2010)費弗曼為他命名的「塔爾斯基一謝爾論題」提出了三個異議：
A．這個論題把邏輯吸收到了數學、更具體地說是集合論當中。
B．解釋(這個論題)所涉及到的集合論概念不是魯棒的。
C．對於是什麼構成了任意基本域上同樣的邏輯運算，這個論題沒有給出自然的解釋。(Feferman，1999：37)②
①當然，從其他角度來看，它們可能也有點相關。對於語言學直觀起重要作用的那些批評，可以參見如漢森的論文(Hanson，1997)和戈麥斯一杜蘭特的論文(G6mez—Torrente，2002)。對此所作的回應可以參見謝爾的論文(Sher，2001；2003)。一些關於邏輯性的部分(ii)的問題在這些回應中起了重要作用，但正如上面提到的，它們無需用到目前的討論當中。
就A而言，費弗曼把它作為一個「直覺」問題提出來：
就這一[異議]是否合理這一點來說，這明顯依賴於對邏輯本質的直覺。(Feferman，1999：37)
他特別受到以下事實的幹擾：我們可以用純邏輯詞彙表達實質性的數學命題，而這個論題的數學版本又為邏輯添加了實質性的本體論承諾：
根據塔爾斯基一謝爾論題，我們可以把連續統假設以及其他許多實質性的數學命題表達為邏輯上確定的命題。③??這一論題的某個版本要求一種特殊的集合論實體的存在性、或者至少是它們確定的性質的存在性，就此範圍而言，很明顯的是，我們在這裡已經超出了邏輯作為獨立於「何物存在」的普遍概念的舞臺。(Feferman，1999：38)
我的回應如下：
(a)直覺。從目前把邏輯基礎問題處理成一個理論問題的角度來看，直覺在接受或拒絕這一論題時都不能起主要作用。邏輯和數學之間的關係確實需要解釋，但這在本質上不能是理論的。我將在隨後的第(四)小節提供一個解釋。
(b)連續統假設和本體論承諾。首先，邏輯必須避免牽涉到世界的任何承諾這個觀點，是一個與邏輯的基礎主義方案攜手並進的「純粹論」觀點，但在我的基礎整體主義方案中卻沒有地位。其次，正如費弗曼似乎已經注意到的(上述最後一個引文)，他的批評並不能應用到塔爾斯基一謝爾論題的一般形式，至少在我的說明——即前面的第一步、第二步——中是如此。論題的這一形式並沒有躺在任何特殊的數學理論之中，所以也沒有承諾連續統的可表達性或集合論實體的存在性。連續統的可表達性僅僅是選擇一個特殊數學理論作為形式結構的背景理論的人工製品，因此是對集合存在性的承諾。④我們還不知道連續統假設究竟為真還是為假，有人也許會被這一事實所困擾，但在我們看來這並不是問題：知識的匱乏既是暫時的又是長久的，這是所有知識領域中都無法改變的事實，邏輯沒有理由成為例外。
就B而言，費弗曼承認，「集合論概念的『魯棒性』這個概念是模糊的」，但他的基本想法是，「如果邏輯概念需要從集合論上解釋清楚，那麼它們一定具有同樣的、獨立於集合論論域的精確範圍的意義」(Feferman，1999：38)。可以用來刻畫這一思想的一個數學條件是絕對性：給定(標準集合論語言中的)公理集合T，一個「公式??被定義為是關於T絕對的，僅當在T的模型的終端擴展(end—extension)下是不變的」(Feferman，2010：13)。費弗曼要求所有邏輯常項都是由「魯棒的」概念可定義的，其動機在於處理以下思想：邏輯「不應該包含任何成問題的集合論內容」、邏輯常項的意義「不應該依賴於任何特殊的、超出最基本的集合構造而存在的集合論假設」(Feferman，2010：17)。在這一絕對性條件之下，諸如滿足邏輯性的「量詞『存在不可數多個X」』這樣的常項「不應該是邏輯常項」(Feferman，1999：38)。
②為了保持本文編號系統的一致性，我把費弗曼的「1」、「2」、「3」換成了「A」、「B」、「C」。
③我們可以這樣做的一種方式是使用量詞「存在2。個」、「存在個」。
④實際上正如我們將在第(四)小節中所看到的那樣，這是尚未解決的問題：作為一個關於形式的理論，集合論本身是否承諾了像集合這樣的形式個體的存在性。
這一批評同樣至多只能應用到特殊版本的塔爾斯基一謝爾論題。就這一版本來講，我的回應是，如果可以證明絕對性這樣一類背景詞彙的特徵是與邏輯基礎問題密切相關的，那麼可以合理地要求在此基礎上對邏輯性標準進行修正；但是就我所知，它們從未被證明直接與此問題相關。此外，費弗曼也承認，「絕對性概念本身是相對的、是對作為背景的集合論敏感的，因此仍然是對什麼實體存在這一問題敏感的」(Feferman，1999：38)。這就引出了一個問題：如果在邏輯基礎的某個地方必須迴避非魯棒的概念，那麼為什麼它們不應該在其他地方也被迴避?為什麼像絕對性這樣的非魯棒概念必須被允許在表述邏輯性標準甚或在其表述的限制中充當核心角色?
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就謂詞邏輯來說，這裡的句子聯結詞有兩種許可方式：句子算子的邏輯性標準和謂述算子的邏輯性標準。通過前者引入的時候，由於上述原因，它們不能表現得像費弗曼聯結詞那樣。[根據謂詞邏輯的真的塔爾斯基定義，用於開公式的時候，這個定義決定了它們只能與不考慮它們主目結構的論域的基數的謂述算子相一致。例如，在「Bx&cx」或「Bx&cy」等語境中，「&」分別與所有論域中的交(intersection．in—all—universes)或所有論域中的卡氏積(Cartesian．product—in—al1．universes)的客觀算子相一致。]通過後一個標準引入的時候，它們被作為客觀的邏輯算子引人而在閉句子語境中變成句子邏輯算子。這樣的算子由其形式性而成為邏輯算子，它們從其只區分它們主目結構(包括它們的論域)的形式特徵這一特性中獲得內部統一性。並不是主目結構的論域的所有特徵都是形式的，但是其基數是形式的，所以，邏輯算子原則上對這一特徵是敏感的。費弗曼邏輯聯結詞的謂述相關物初看起來可能是「怪異的」，但實際上它在理論上是可靠的。
雖然費弗曼的具體異議是沒有根據的，但問題仍然會出現：假定邏輯性的部分(ii)被滿足，那麼形式性對邏輯常項來說究竟是充分必要條件或者僅僅是必要條件?經過深思熟慮之後，我的觀點是，如果這個問題是這樣問，「我們必須把哪些邏輯常項包括在我們所使用的邏輯系統之中?」那麼這個問題有多重維度，而且在不同的時間我們需要作出不同的決定，這取決於哪些維度對我們來說最重要、我們在那個時候的目標是什麼。邏輯性標準本身並不足以決定我們的選擇，其他需要考慮的事項如實用考慮等也會起到重要作用，致使我們把邏輯性許可的邏輯常項限制到標準邏輯常項等等。但是，如果這個問題是這樣問，「邏輯常項的哪個選擇所產生的邏輯系統其後承將在所有知識領域中以一種特別強大的模態力量把真從前提轉換到結論?」那麼我相信答案是，滿足邏輯性的邏輯常項的任何選擇都將做到這一點。從這個角度來看，我們的標準在形式性這個統一的主題下區分出了一個極大論(maximalist)邏輯性觀念，它是一族邏輯系統的觀念，每一個系統都以部分方式滿足為邏輯所指派的任務。就這一觀念而言，我們的標準為邏輯性建立了一個充分必要條件。這個標準的一個重要憑據是，它在實質性的、統一的邏輯基礎中充當了意義重大的角色(而不是作為特設標準，或者是整合在關於邏輯的零碎平庸說明中的標準)。
必須注意的是，運用形式性標準來擴展邏輯、尤其是一階邏輯所帶來的優勢不在本文的討論範圍之內。例如，ISOM[同構不變性標準或邏輯性的形式性標準，見第二(二)節]已經被證明在數學和語言學中得出了極其豐富和有趣的結果，包括「廣義」量詞。廣義量詞是與標準一階量詞很像的如「大多數」、「可數無窮多的」等這種量詞，表示第二層次的形式算子，與一階(個體)變元連起來使用。廣義的邏輯框架中的工作在模型論和抽象邏輯中得到了重要的結果，包括林斯特龍(LindstrSm，1974)對標準一階邏輯所作的影響深遠的刻畫、標準一階邏輯並不是最強的完備邏輯的證明(Keisler，1970)、有窮模型和無窮模型中廣義量詞的研究(cf．BarwiseandFeferman，1985；V萏苴nanen，1997；2004)。它在語言學和語義學中也有重要的結果(cf．PetersandWesterstgthl，2006)。
我們制訂邏輯基礎的下一步將要考慮的是形式的實在性、用來研究它的那個學科以及邏輯和數學在它之中的共同基礎。
(四)邏輯的結構主義基礎及其與數學的聯繫
如果我們的理論是對的，那麼邏輯就建基在那些支配對象(性質、關係、函數、事件或情境狀態)行為的形式法則之中，不管這些對象是實際的還是形式上可能的。基於這些原則之上的恰當的邏輯理論需要形式結構的背景理論的資源。這個理論將確定對象的全體形式上可能的結構(結構／模型的基礎)、對象的全體形式特徵(邏輯常項的基礎)以及支配對象的形式特徵和形式上可能的結構的普遍法則(邏輯法則的基礎和邏輯後承的基礎)。具有基礎主義傾向從而禁止任何循環的傳統哲學並不允許邏輯以這種方式和其他理論聯繫起來，基礎整體主義則不然。問題出來了：我們知識系統中的哪個理論充任了或至少可以充任邏輯的形式結構的背景理論這個角色?
不過，在回答這個問題之前，我們需要考慮一個更為基本的問題。對於任何一個理論來說，為了研究支配(實際的和潛在的)對象的形式特徵的法則，對象(包括實際對象)必須具有形式特徵。所以，我們的第一個問題關係到形式的實在性。有的哲學家、尤其是極端唯名論者，質疑形式的實在性，而且這個問題在數學哲學文獻中也被廣泛爭議。我在這裡無法對這個問題的各種觀點進行研究，而是為形式的實在性提供一個基本的、相當常識性的論證。我的工作比其他哲學家(在客觀意義上)對形式的實在性所作的辯護更為簡單，其中一個方面是我不必對形式個體的存在性進行辯護。它可以從我們對形式性所作的刻畫(的一般性表述以及數學表述)中作為推論得到：
(FI)不存在形式個體。
為了明白其原因，我們嘗試把形式性應用到個體。首先，我們知道形式性並不能直接應用到個體。因為個體沒有主目，它們不能根據它們考慮(和不考慮)的主目的什麼特徵而被區分開來。所以，形式性標準並不支持任何個體的形式性。其次，我們通過驗證個體的相等是否是同構不變的⑤、從而間接地使用這一標準來驗證個體的形式性的時候，這個標準給出了一個否定性結果：給定任意的個體c和結構，存在一個結構使得但C』≠c。⑥
⑤根據如下意義：如果帶有某個個體的結構同構於另外一個結構，那麼這個相同的個體出現在二者之中。
⑥(i)看待這個間接驗證的另外一個方式是當作驗證一元的第一層次性質「等於C」是否是形式的，其中c是固定的個體。很明顯，它不是。(ii)注意，(FI)也可以從我們對形式性的非技術性刻畫中得出。(iii)就形式性的數學標準而言，這個結果並不依賴於它在本文中的特殊表述。(c￡Lindstrtim，1966；Tarski，1986)
所以，為了把邏輯建基於(我們意義上的)形式之中，需要確立的是形式特徵的實在性而不是形式個體的存在性。下面我們會看到，這把我們推到了一個有趣的、與唯名論者面對面的位置：關於個體的唯名論者可以接受我們把邏輯基礎解釋成是建基於實在的形式特徵或支配這些特徵的法則之中。
至此為止，我們只是假設了實在具有形式特徵。但是，它真的具有這些特徵嗎?為了對形式特徵的實在性進行辯護，假設它們不是實在的。那麼這個假設是什麼意思呢?考慮到我們對形式性的理解[第二(二)節]，它意味著世界中的對象既不與它們自身相等也不與任何其他對象有所不同、對象的聚合沒有大小、對象的性質並不構成並和交、對象的關係並不顯示出形式模式(如沒有關係是自反的、對稱的或傳遞的)，如此等等。但是這些斷言非常不合理。以我最近組織的研究生討論班中的學生為例。很難否認：學生和我都是實在的，每個學生都相等於他／她自身並且不等於我，學生和我構成了一個具有確定基數的個體聚合，作為學生和作為教授的這些性質具有一個並和一個交，學生都處於「x與y參加同一個討論班」這一自反、對稱和非傳遞的關係之中，如此等等。⑦所以，如果我的學生和我都是實在的，並且如果我們具有上面提到的第一層次的性質和關係，而這些性質和關係又都具有上面提到的第二層次的性質，那麼世界中的對象確實具有形式特徵並且這些性質都是實在的。
但是，如果形式特徵都是實在的，那麼它們和對象的其他性質一樣都潛在地顯示了規律性且由法則所支配。人們有充分的理由相信，相等、基數、交、並、自反性、傳遞性、對稱性等等並不是不規則的或無規律的。所以，對於個體，即使你一開始是一個唯名論者，你也很難否定說：你所支持的個體具有形式特徵(自我相等)，它們的性質和關係具有形式品質(基數性)且處於形式布局(並)之中，這些形式品質和布局顯示了某些規律性且被某些法則(同一律、基數法則、並的法則)所支配，如此等等。形式(theforma1)的理論研究的正是這些形式法則。
那麼，哪個理論研究形式?最自然的回答是：數學。當然，有人可能會拒絕這一回答。他們可能會說，數學純粹是規約的，或者說，它太普遍太抽象從而無法與世界銜接，或者說，只有應用數學才和世界(或其他類似的東西)有關。
首先我要說的是，問題並不在於是否所有的數學都從事於形式研究，甚或是否有的數學理論專門地從事於這一研究。數學是一個範圍寬廣的、多樣化的學科，具有多種多樣的目標和興趣。問題在於，數學所做的重要事情之一是否是(在我們的意義上)為形式提供一個理論。對這個問題所作的否定性回答毫無意義。如果世界中的事物及其性質都具有形式特徵，比如說如果對象的性質具有基數性特徵並且這些特徵由某些法則所支配，而數學家卻依然專門研究其他那些由完全不同於支配實在的基數的法則所支配的「不實在的」基數，這將是非常奇怪的事情。
⑦這裡依然無需承諾有爭議的實體就可能表達這一點。
接下來，我們來看前面提到的異議中的最後兩個。(由於普遍認為數學規約主義與邏輯規約主義一樣都是不恰當的，這裡不再對其進行討論。)一旦認可了實在的形式層面的存在性並且意識到它的法則的強大模態力量和極大普遍性，我們就會明白，數學並不是太普遍或太抽象從而無法與這些法則銜接，另外，「純」數學也一定關注它們，而不僅僅是應用數學才一定如此。這是因為，以精確的方式、完全普遍性地對具有高度必然性的普遍法則作出解釋，需要一個高度抽象的普遍理論——針對形式法則的、近似於「純」數學的東西。例如，為了完全普遍性地陳述有窮基數的法則，我們需要與無窮集合類似的東西。而一旦無窮集合被引入，為了完全普遍性地陳述支配集合和冪集之間的基數關係(或它表示的性質和冪性質之間的關係)的法則，我們需要像完整的康託爾定理那樣普遍、抽象的東西。
現在，給定研究這些法則的數學理論的存在性，可以合理地認為，不管是原來就為這一目的而建造好的還是刻意追求的，它們都能夠充當邏輯的形式結構的背景理論。
確定了邏輯與數學之間的基本關係——邏輯建基於形式之中而形式由數學研究，隨後我們便可以考慮費弗曼的斷言：我們關於邏輯性的標準等於「把邏輯吸收到了數學中」。細查我們關於邏輯性的一般描述及其精確表述就可以證明，如果費弗曼說的「吸收」指的是「等同」，那麼這個斷言是錯誤的：根據我們的解釋，邏輯和數學處於一種系統的和富有成效的相互關係之中，而不是相互等同於對方。它們至少在兩個重要事情上是不同的：(i)主題；(ii)它們對象的形式性。第一個區別是直截了當的：雖然邏輯也涉及到世界，但是它通過語言來處理它。它的直接主題是語言學上的(句子、推演、理論)，而數學的直接主題是客觀的(對象和對象結構)。第二個區別更為微妙：邏輯性的不變性標準的一個重要結果是[如塔爾斯基(Tarski，1986)提到的]，經典數學概念解釋為較高層次概念的時候都是邏輯概念，解釋為較低層次概念的時候都是非邏輯概念。尤其是，數學個體及其許多第一層次的數學性質並不滿足這個標準的形式性部分，但是它們的較高層次的相關者卻滿足。所以，作為個體基數，2和N都不是形式的(邏輯的)，但作為量詞基數(第二層次實體)它們又都是形式的；作為個體之間的關係，屬於關係(∈)不是形式的，但作為較低層次實體和較高層次實體之間的關係(例如在「a屬於B」中，其中a是第0層次對象、B是第一層次對象)，它又是形式的。塔爾斯基斷定說，我們是否把數學當做邏輯，這是一件隨意的事情，但是我認為他錯了。邏輯和數學之間存在一個系統的工作分工，數學個體及其較高層次相關者之間在形式性方面的不同是這一分工的一部分：數學(很大程度上)通過數學個體及其性質(嚴格地說它們不是形式的)來研究形式，而邏輯使用形式算子(很大程度上它們都是較低層次數學對象的較高層次相關者)來為有效的推理和推演開發方法。
現在，有人或許會問，在研究形式的時候，為什麼數學通常使用較低層級的(或一階)理論。如果形式(主要地)駐留在性質的性質這個層次，那麼為什麼數學卻在個體及其性質這個層次上研究它?例如，基數作為第二層次的性質，為什麼數學卻是通過皮亞諾算術、ZFC等一階理論(這些理論把基數解釋為個體)來研究它們?這樣的理論可以為形式提供精確的知識嗎?
最後一個問題的回答是肯定的：雖然一階數學理論不能直接為形式提供精確知識，它們卻可以間接地做到這一點。至於那個「為什麼」的問題，回答它的關鍵之處在於以下觀察：理論之為理論乃是心靈的創造物，心靈越是複雜精細，它就越適合於(也能夠)對實在提出間接但富有成效的正確解釋。就功能方面來說，也很容易看到這種間接研究可能具有什麼樣的優勢。假設我們人類對個體系統比對較高層次對象的系統能更好地操控，也就是說，出於各種原因，與較低層次概念打交道的時候，我們更能勝任於規律的發現並把它們系統化。那麼，在那一層次研究形式對我們是有利的。通過為實在或者我們希望研究的部5Y／方面(在「模型」通常的意義下)構造一個第一層次的模型，我們就可以做到這一點。例如，我們可以創建一個一階算術理論，它將通過(較高層次的)基數法則的第一層次相關者來研究這些法則，從而為這些法則提供一個間接的說明。一階算術(如果正確的話)由此就以一種系統的方式與實在聯繫起來，但是它與實在的聯繫是間接的。在適用於實在方面，與第一層次現象的準確的一階理論相比，較高層次現象的準確的一階數學理論反而沒有那麼直接，但是它們對實在的適用卻是一樣的。
我們可以通過直接和間接(或簡單和複合)指稱來形象地表示出與實在的直接聯繫和間接聯繫之間的區別(使用數字上標是為了區分語言學的／本體論的元素類型，不同種類的箭頭是為了區分不同的指稱關係和這些關係的組成成分)：⑧
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在我們的數學真理觀和有些虛構主義者(of．Field，1989)的數學真理觀之間，可以辨識出一些相似之處，尤其是二者都把數學個體看成是(某種)虛構物。當然也存在著非常顯著的區別：根據虛構主義者的解釋，實在沒有真正形式的特徵，而根據我們現在的解釋則不然；對虛構主義者來說，一階算術定理都是假的，而對我們來說則為真；在虛構主義者看來，應用算術的定理都是物理真理的保守擴張，而我們則認為它們是形式真理的應用。我們可以說，如果你知道如何把它們與實在聯繫起來，一階數學的法則都沒有說謊.
但是，如果數學是通過一階理論間接地研究形式，那麼問題就出來了：精確地說，形式在哪裡進入到了(一階)數學理論?我的回答是：憑藉結構。一階數學理論通過研究數學結構來研究形式。數字個體不是形式的，但數字結構即數字個體的結構是形式的。這對集合論結構同樣成立：集合作為個體不是形式的，但集合論結構是形式的。數學結構的形式性的標誌與邏輯算子的形式性的標誌是一樣的：同構不變性。數學結構在同構下保持其數學上的相等。在數學結構和形式算子這兩種情形之中，我們都可以說，相等是不計同構的相等。不管它們的論域是否由同樣一些個體組成，自然數的兩個同構系統(作為自然數系統)是相等的。在這種意義上，數學系統和邏輯算子一樣都不能辨別個體的相等。數學通過結構的一個本體來研究形式，其中，結構中的個體通過它們在結構中的作用來表徵對象的形式特徵，支配這些結構的法則是支配對象的形式特徵的法則的數學表徵。
⑧霍茲是這一解釋的先導。(Hodes，1984)感謝S．夏皮羅(StewartShapiro)為我指出這一點。
很容易看到，根據我們的解釋，數學的形式性與其結構主義數學哲學意義上的結構性具有某些明顯的相似性。這一相似性反映在諸如同構對於二者的核心性。它在數學結構主義中的核心性可以在以下引自夏皮羅的論述中清楚地看到：
不管如何表述，結構主義都依賴於兩個系統例示了「相同」結構這個概念。這就是關鍵所在。.我們需要明確地表述出系統之間相當於「具有相同結構」這樣一個關係。
有幾個關係可以做到這一點。.第一個是同構，一個普通的(和值得尊敬的)數學概念。兩個系統是同構的，僅當存在一個一一對應把一個系統的對象和關係對應到另外一個系統的對象和關係並且保持這些關係。??直觀地說，這就是有時候會說的同構「保持結構」。(Shapiro，1997：9O__91)
甚至那些並不認為同構等同於結構相等的人也認為它對結構主義來說是非常核心的。例如，雷斯尼克(Resnik，1997)認為，數學結構表徵了具有各種性質且處於各種關係之中的事物的模式，同構則表徵了結構的全等，而在所有「出現於模式之間的等價關係」中「全等是最強的」(Resnik，209)。根據我們的解釋，形式和結構之間的密切聯繫還是邏輯和數學之間聯繫的另外一個方面。數學個體通過它們在結構中的作用而表徵了(第二層次的)形式性質，在這些結構中支配它們的法則表徵了構成邏輯基礎的形式法則。
19世紀末2O世紀初那些偉大的基礎性系統描繪出了邏輯和數學之間緊密的聯繫。為了給數學尋找一個(堅實的)基礎，邏輯主義把數學建基於邏輯之中，直覺主義把數學和邏輯都建基於心智構造之中，(證明論的)形式主義則旨在把二者建基於句法之中。當前的方案在兩個方面有別於這些傳統進路：(i)把焦點轉移到了邏輯的基礎；(ii)把傳統的基礎主義方法論換成了新的、整體主義(但仍是基礎性的)方法論。但是，我們並沒有放棄舊有的邏輯一數學聯繫，而是把我們拉回到了這一聯繫，只不過現在有了新的理解。
在方法論上，邏輯和數學的共同解釋比各自獨立的解釋具有明顯的優勢：它把兩個哲學謎團——邏輯的本質和數學的本質歸約為一個，我們需要負擔的只有一個基礎任務而不是兩個。共同解釋可以有幾種形式，其中的三種為：(i)邏輯主義：把數學歸約為邏輯；(ii)數學主義：把邏輯歸約為數學；(iii)第三種成分：把邏輯和數學都建基於一個第三種成分——在我們的情況中稱為結構或形式——之中(我們可以稱此為「邏輯一數學結構主義」)。我們可以扼要地比較這三種選項：
邏輯主義：邏輯主義家世顯赫、家喻戶曉、文獻眾多、革新不斷，但是，即使具有這些優勢，從適合作為邏輯的基礎這個觀點來看，它還是非常成問題的。邏輯主義用邏輯來解釋數學並以之為數學的基礎，但是它卻未對邏輯本身進行解釋和提供基礎。有的哲學家試圖把數學的邏輯主義基礎與邏輯的規約主義基礎配成一對，但我們在前面已經看到，邏輯規約主義也是非常成問題的。就我所知，到目前為止，邏輯在邏輯主義內部還沒有恰當的基礎。
⑨句子各部分的順序有所調整。
數學主義：數學主義具有邏輯主義同樣的方法論優勢(雖然沒有顯赫的家世和眾多的文獻)，而且因為對數學所作的幾種實質性說明(如數學柏拉圖主義、數學自然主義和數學結構主義)都沒有把主要解釋擔子壓在邏輯肩上，對於共同基礎可能具有更好的前景。但是我也不知道對共同的數學主義基礎有任何成熟的(更不必說成功的)嘗試。在對數學的非邏輯主義解釋中，我認為結構主義最有希望，但是我更願意把它歸人到「第三種成分」這個範疇之中。
邏輯一數學結構主義：第三種方案為了給邏輯和數學塑造一個共同的基礎而立足於第三種事物，它以相互聯繫但又與眾不同的多種方式為二者提供基礎。我們的方案就屬於這一範疇，把數學和邏輯都建基於同樣的事物之中：(客觀意義上的)形式或結構。根據這個說明，邏輯和數學的結構性在於它們只辨別形式模式：數學中對象的形式模式和邏輯中語言表達式的形式模式。後者構成邏輯真理和邏輯推演的基礎，其本身又(以一種複合方式)建基於支配前者的法則之中。
除了形式性和結構性之間的聯繫之外，我們對邏輯所作的「形式主義」解釋和數學的結構主義解釋之間還有其他一些相似點，其中三個如下：(i)實在論傾向[如雷斯尼克(Resnik，1997)和夏皮羅(Shapiro，1997)]；(ii)拒絕基礎主義、認可整體主義(如雷斯尼克和夏皮羅)；(iii)把強大的模態力量歸因於數學／邏輯法則[如赫爾曼(Hellman，1989)]。然而，把數學結構主義擴展到邏輯、或者說邏輯和數學擁有共同的結構主義基礎，這個想法並沒有得到數學結構主義者的徹底審視。出於這個原因，也出於數學結構主義者之間的觀點存在相當大的變化的原因，⑩我們此時此刻暫不考慮(我們的)「邏輯形式主義」和數學結構主義之間的聯繫，而是繼續討論邏輯與數學之間與這一聯繫無關的相互關係。
根據我們的解釋，邏輯和數學之間的相互作用是一個連續的過程，對兩個學科都是不可或缺的：數學為邏輯提供關於形式結構的背景理論，邏輯為數學提供(形式結構以及其他可能事物的)理論發展的推演框架。功能上，我們可以把這個過程描述為分階段進行：從研究補、並、交、包含等非常基本的形式運算的基本邏輯一數學開始，我們為發展一個簡單的(類似於句子邏輯或三段論的)邏輯系統創建資源。這個邏輯幫助我們建立起一個更為成熟的數學。然後，受這個數學中出現的方法論問題(如公理化問題)的促進以及對其資源(如集合論資源)的某些運用，我們發展出一個更為強大而系統的(類似於帶標準邏輯常項的公理化的一階邏輯的)邏輯系統。接著，把這個系統用作數學的框架，我們為數學理論建立起嚴密的公理系統(如算術和歐氏幾何)、為形式結構建立起嚴密的普遍理論(如公理集合論)。運用這個成熟的理論，我們可以進一步建立起一個系統的邏輯後承定義(如塔爾斯基定義或模型論定義)和系統的邏輯性標準(如同構不變性標準)，以此為基礎，我們建立一個擴展的一階邏輯框架，如「廣義」一階邏輯(Mostowski，1957；Lindstrtim，1966；Keisler，1970)那樣的東西。這個擴展的邏輯可以使我們在將來發展出更為成熟的數學，如此等等。
⑩除了提到的以外，知名的還有帕森斯(Parsons，2008)、千原(Chihara，1990)、雷克(Reck，2003)以及其他人。
我們即將完成我們的基礎大綱。我們已經詳細解釋了邏輯建基於實在這個論題，解釋了邏輯和數學之間與之一致的關係。最後我們簡單地討論三個相關的問題：邏輯的規範性、邏輯的特質以及邏輯中的錯誤和修正。
規範性。按照我們的解釋，邏輯的規範性源自於邏輯的真。有一種解釋認為，真不僅僅是一種陳述／理論的性質，還是一種認知價值，相當於實踐領域中的道義價值。按照威廉士(Williams，2002)的說法，我們稱這種價值為「真實性(truthfulness)」；這裡，我們主要感興趣於認知真實性。認知真實性是倫理學和認識論交叉處的核心價值，每門維護這一價值的學科都是規範學科。由於與其他大多數學科一樣，邏輯的目的也在於真(反映在我們基礎研究中強調其正確性的東西)，所以它是一門規範學科。
真是認知規範性的核心來源、並且所有正確性學科因此在認知上都是規範的，這一觀點可以追溯到弗雷格：
任何斷定何物存在的法則都可以視為規定著人們的思考應該與之一致，因此，它在這一意義上是思維的法則。這對幾何學法則和物理學法則也同樣成立，正如對邏輯法則那樣。(Frege，1893：12)
麥克法蘭把這一觀點闡明如下：
在弗雷格看來，.它是所有[作為規範法則的]描述性法則的特徵。??考慮關於物理世界的「遊戲」(不僅僅是理解思想，還要對它們進行評價並決定支持哪一個)。??這個遊戲中的「運動」——判斷——可以評價為正確的還是不正確的。關於物理世界的判斷，如果它們與物理事實匹配，那麼，在此意義上它們就是正確的。所以，雖然物理定律是描述性定律——它們告訴我們的是這些物理事實(中的一些)——它們對從事於思考物理世界的「遊戲」的任何人都具有規範性後果：這樣的思考者不應該作出與它們不相容的判斷。的確，只要一個人的行為被認為是對物理世界作出判斷，它的正確性根據物理定律必須是可評估的。在這種意義上，物理定律為關於物理世界的思考行為提供了基本的(constitutive)規範。(MacFarlane，2002：367)
就邏輯來說，它的法則關心的是一種特殊類型的、出現在所有知識領域中的後承(真、一致性)，所以它的規範性力量包含了所有領域中的推導、斷定和理論化行為。用弗雷格的話說：
從[邏輯]（11）的法則[一般]可以推出關於斷定、思維、判斷、推演的規定。(Frege，1918：1)
弗雷格(和我們)對認知規範性的解釋中，一個與眾不同的方面是描述(thedescriptive)與規範(theprescriptive)之間的聯繫。麥克法蘭對此也有清楚的解釋：
（11）弗雷格說的是「從真之法則」，但對他來講，邏輯的法則都是真之法則。
弗雷格.說，邏輯和倫理學一樣可以稱為「規範科學」(Frege，1979：128)。因為即使邏輯法則在其內容上都[是描述的而]不是規範的，它們卻蘊涵著規範。??例如，[它們蘊涵]人們不應該同時相信一個命題及其否定。那麼，邏輯法則具有兩面性：它們在內容上都是描述的但又蘊涵著思想的規範。(MacFarlane，2002：36)
現在，根據我們的解釋和弗雷格的說明，雖然邏輯的規範性的來源與其他學科是一樣的，但這並不意味著邏輯規範性在其他方面也與它們一樣。我們已經注意到，邏輯的規範性比物理學的規範性涵蓋著更廣的範圍。我們也已經看到，它的規範性建基在不同類型的真之中，這種真與物理學的真不同，是一種形式的真。最後，我們可以看到，邏輯的規範性在某種意義上比其他學科的規範性更為強大、更為深刻而且更為顯明。邏輯規範性的這種顯明性來自邏輯的主題：邏輯直接而非間接地通過斷言、理論和推演的對象來處理它們，在這樣做的時候，它就以明確、直接的方式顯示了它的規範性。至於邏輯規範性的力量，則是長期以來就與邏輯相聯繫的特質之一，因此最好還是把這些特質放在一起來討論。
特質。邏輯在傳統上被刻畫成是形式的、高度普遍的、主題中立的、基礎的、模態上強大的、高度規範的、先天的、高度確定的和分析的。作為一個基礎整體主義者、一個相信既要把邏輯建基於心靈(或語言)之中也要把邏輯建基於實在之中的人，我拒絕把邏輯刻畫為分析的。但是，除了這一點以及對它的先天性稍作修正之外，我們的解釋肯定了邏輯所有的傳統特質。
按照我們的解釋，形式性是邏輯的關鍵特質，它的所有其他傳統特質都與此密切相關。塔爾斯基(Tarski，1986)指出了(我們意義上的)形式性和普遍性之間的聯繫。一個給定概念的不變性程度越高，它就越普遍；一個給定概念對其保持不變的那些轉換組成的類越大，它的不變性程度就越高。從這些原理可以得出，由於邏輯概念的不變性程度比物理學概念、生物學概念、心理學概念以及其他許多概念都更高，因而它們更為普遍。（12）現在考慮主題中立性：邏輯的形式性，即它比其他學科具有更高的不變性程度這個事實，確保它抽象化了(不關心、不注意)它們與眾不同的主題。所以，邏輯可以應用於其他學科而不管它們的「主題」：即邏輯是主題中立的。如果它在一門科學中起作用，那麼它就在所有科學中起作用。邏輯的形式性即強不變性也意味著邏輯並不區分物理上(普通地)可能的和物理上不可能但形式上可能的對象和情境，物理學則相反。所以，與物理法則相比，邏輯法則在更廣泛的可能空間中成立：邏輯法則在物理上不可能但形式上可能的事件狀態中成立，而物理法則卻不成立。這意味著邏輯具體特別強大的模態力量。
此外，由於形式法則(並且因此邏輯法則)的範圍真包含普通法則的範圍，所以，自然科學和社會科學必須考慮到、而且確實遵從了邏輯法則，而不是反過來。在這種意義上，邏輯比這些學科更基礎。現在，這種基礎性反映在邏輯的強規範性力量之中。自然科學和社會科學服從邏輯的權威而不是相反，從這一事實可以得出，邏輯具有更強大的規範力量。考慮邏輯的可靠性之前，我們首先要注意的是，邏輯是在一種特定意義上高度可靠的。並不是人們在應用邏輯法則時不太可能出錯，而是與其他法則相比，邏輯法則最不可能被科學發現所駁倒。這裡並不是說，邏輯對發現完全免疫(想想羅素在弗雷格邏輯中對悖論的發現)、或者對其他學科(知識領域的相互關聯性)的發現完全免疫；這裡的意思是，邏輯比其他科學更不易受到新結果的衝擊。原因依然與它的形式性或強不變性有關。形式算子、因此邏輯算子對實在的大多數方面都漠不關心；所以，涉及那些方面的研究相對不太可能產生新的形式結構理論來破壞我們當前的邏輯。
（12）為簡明起見，我只比較了邏輯的特質與物理學的特質。
傳統上，邏輯都被刻畫成先天的，這一點常常由邏輯的強大模態力量和／或其分析性來解釋。我認同的是邏輯具有強大的模態力量這個觀點，但並不認為這需要絕對的先天性。絕對先天I生範疇在基礎主義框架中有意義，但在整體主義框架中卻沒有。傳統的先天論要求對經驗的絕對獨立性，但是基礎整體主義只容許相對獨立性(儘管它確實容許相當大的獨立性)。根據本文建立的基礎整體主義，邏輯對經驗內容在很大程度是免疫的，但並不是完全免疫的。這也與其形式性有關，在方式上則與(前面所說的)相當大的可靠性大致相同。邏輯所考慮的對象的特徵由於太抽象而不能直接用經驗方法進行研究；所以，在獲取邏輯知識(形式知識)的時候，關於感性知覺的理性是優先考慮的事情。但是，很大程度上以理性為基礎並不意味著唯一地以理性為基礎。所以，邏輯是準先天的而非絕對先天的。
邏輯中的錯誤和修正。我們已經討論了邏輯的傳統特質並解釋了它的強規範性。但是，我們認為邏輯是準先天的，並且沒有達到絕對地可靠，這個觀點需要我們處理另外一個問題：邏輯中的錯誤和修正。首先我要提起注意的是，認為邏輯是一門正確性學科和認為邏輯對錯誤免疫，這二者不是同一個事情。像其他任何理論一樣，邏輯理論可以是錯誤的(包含錯誤)，但這不能取消它們作為正確性理論的資格。一個理論是正確性的，僅當它(i)以真為目標(其中真需要與實在有一個系統的聯繫)，(ii)使用真作為其作出判斷的核心標準，(iii)為驗證其作出的判斷的真提供實質性工具。根據我們的說明，邏輯滿足所有這些要求。有人可能認為，作為其強大模態力量的結果，邏輯對錯誤是免疫的。他們可能這樣推理，由於邏輯真理都是必然的——即必然地為真——它們不能為假。但是，其斷言具有強大模態力量的理論都是絕無錯誤的這個觀點完全錯了。邏輯法則的形式必然性並不蘊涵邏輯是絕無錯誤的，正如物理法則的普通必然性並不蘊涵物理法則是絕無錯誤的。牛頓定律和愛因斯坦定律在模態地位上並沒有不同，但是(根據現代物理學)它們的真理性是不同的。我們在對於自然法則的模態地位不會出錯的情況下，對於它們究竟是什麼卻可能會出錯。這對邏輯同樣成立。
邏輯中的錯誤有哪些可能的來源?一個潛在的來源是其形式結構的背景理論。如果支配性質和情境的形式布局的法則不同於我們當前作為背景的形式理論所說的，那麼在我們的邏輯中就可能有錯誤。這樣一些錯誤可以證明修正的正當性。另外一個潛在的錯誤來源是邏輯常項的選擇。如果我們選擇「高於」或「是人的一個屬性」作為邏輯常項，我們就會把實質後承錯認成邏輯後承，如果我們取消選擇存在量詞和全稱量詞作為邏輯常項，我們就會把邏輯後承錯認成實質後承。錯誤的第三個來源在於我們系統的構造之中。如果我們把模型構造成物理上可能的對象結構(而不是形式上可能的對象結構)，我們就會把物理法則錯認成邏輯法則。所有這些種類的錯誤都為邏輯的修正提供了可靠的理由。
邏輯中的另外一個修正可能是實用方面的：假設沒有正確性考慮因素會偏愛一個邏輯理論而不是另外一個，但實用或方法論考慮因素卻有偏愛；由此，作為整體主義者，我們可以審慎地使用這些考慮因素來推動修正。現在來看經驗。如果起作用的話，經驗可以對發現邏輯中的錯誤和推動邏輯的修正起什麼作用?雖然抽象的理論考慮因素比經驗的考慮因素在邏輯的修正中起著更大的作用，我們還是無法排除經驗上對「一個非常基本的性質」的發現可能對邏輯產生重大影響。沿著那樣一些思路，塔爾斯基在給莫頓·懷特的一封信中提出過一些東西：
邏輯公理都具有如此普遍的性質以至於它們很少被??特殊領域中的經驗所影響。但是，??我可以設想，一個非常基本的性質的某些新經驗可能使我們傾向於改變某些邏輯公理。量子力學中的一些新發展似乎明顯地指出了這種可能性。(Tarski，1987：31—_321
把私人信件中非正式地表述的觀點歸於一個作者需要非常小心；所以我只談我自己的想法。由於形式的強不變性，形式法則不是經驗方法直接可發現的。但是，經驗考慮因素和理論考慮因素的某些組合可能會顯示，有的形式結構理論優於另外一個，從而通過這一點顯示一個邏輯優於另外一個邏輯，這種可能性不能排除。由於邏輯的特殊本質，理論考慮因素總是比經驗考慮因素更有分量，但是我們也允許這樣一種可能性，即物理學中的問發現可能會超出它們本身而指向更為抽象的東西。尤其是，我們允許一個物理學中的問題指向物理學某個背景理論(包括它的形式背景理論和邏輯背景理論)中的問題這樣一種可能性。最後，我們不要忘記，不成功的實例、包括不成功的經驗實例，可以為抽象的法則造成挑戰(即使是一個可廢止的挑戰)。
但是，允許經驗在邏輯的修正中起著有限的作用並不能(像自然科學、社會科學中那樣)單獨地致使邏輯成為偶然的，強調這一點很重要。它也不會妨礙到它的強不變性。無論是出於純理論考慮因素還是部分地出於經驗的考慮因素，我們都可以把我們的邏輯理論替換為另外一個具有同樣強大的模態力量和同樣地不變的概念的邏輯理論。
邏輯的可修正性可以延伸到邏輯哲學，包括我們自己的基礎性解釋，這一點無須再說。已經接受修正方案的一個具體特徵是我們關於邏輯性的不變性標準。例如，費弗曼(Feferman，1999)提出把同構不變性替換成同態不變性；博奈(Bonnay，2008)和其他人則提出了其他的備選者。⑩當然，這些提議需要進行嚴肅的討論，但是，我們的研究對這樣的修正所設置的哲學標杆具有相當的高度。特別是，並不是每一個邏輯性標準都有助於一個統一的、實質性的、理論的邏輯基礎。
至此結束了我們關於邏輯基礎的一個大綱。我希望，本文為設計出一個基礎方法論並用它為邏輯建立一個(即使還不完整的)實質性基礎所做的努力，將會鼓勵大家加人到這一研究當中來並把它拓展到數理邏輯之外。
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⑩ 我也許應該說明的是，在最近關於邏輯常項的研討會(ESSLLI 2011)上，費弗曼說他不再希望對其備
選的提議進行辯護，儘管他仍然堅守他對同構的異議。(費弗曼教授已於2016年7月26日去世。——譯者)
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⑧這種對比反映在以下方面：解釋邏輯時，我對規約性的考慮在權重上超過對描述性的考慮，對「似乎
可以自然地／不自然地(在我們的語言中)說推理x在邏輯上是有效的」這一方面的考慮在權重上超過「給定
邏輯在我們知識系統中所計劃的任務，可以言之成理地考慮X在邏輯上是有效的」這一方面的考慮。
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