所謂危機，就是激化了的矛盾，到了非解決不可的地步。發生危機並不是什麼壞事，甚至是大大的好事，通過危機的解決，會把以前不利於發展的因素清除或將以前不穩固的地基打牢，以便更快更健康地發展！
數學在發展過程中就經歷了多次危機，最著名的有三次。
第一次數學危機的產生與數的發展有關，我們從「自然數」這個根講起。
自然數
人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，所以德國科學家克羅內克說過：
上帝創造了自然數,其它都是人的作品。
有理數
古希臘數學是在幾個中心地點發展起來的，每個中心地點，總是由一兩個偉大學者組織成群的學者開展學術活動，為數學大廈的築起添磚加瓦。用現在的語言描述，就是創建學派，師徒相傳，推動數學的發展與傳播。
其中最重要的一個學派叫做畢達哥拉斯學派。這個學派是以貴族式的觀念形態作為基礎，與在當時撒摩斯島(Samos，現土耳其西岸小島)的古希臘民主制的觀念形態，形成尖銳的對立，是具有神秘色彩的組織。
從某種意義上來講，現代意義下的數學，也就是作為演繹系統的純粹數學，來源予古希臘畢達哥拉斯學派。它是一個唯心主義學派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，「萬物皆數」(指整數)，數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界。
畢達哥拉斯學派相信任意兩條線段a與b都可公度，就是指存在一條小線段d作為a與b的共同度量單位，使得a=nd，b=md。這意味著b/a=m/n，其中m與n都是整數。因此，當畢達哥拉斯學派相信兩條線段a與b可公度時，用我們現在的語言表達就是指任意兩條線段的比是整數或分數。簡言之，是一個有理數。
有理數有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數，正整數在0的右邊，負整數在0的左邊。以q為分母的分數，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。於是，每一個有理數都對應著直線上的一個點。
古代數學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。
也就是說數軸上除了有理數，不會再有其它的數了。
危機出現
大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了：等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約。新發現的數由於和之前的所謂「合理存在的數」——即有理數在學派內部形成了對立，所以被稱作了無理數。希帕索斯正是因為這一數學發現，而被畢達哥拉斯學派的人投進了大海，處以「淹死」的懲罰。
直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個簡單的數學事實的發現使畢達哥拉斯學派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達哥拉斯派的信條，而且衝擊著當時希臘人持有的「一切量都可以用有理數表示」的信仰。所以，通常人們就把希帕索斯發現的這個矛盾，叫做希帕索斯悖論。
希帕索斯發現的√2是人類歷史上誕生的第一個無理數。以現在人的眼光來看，不可通約量或無理數的發現，或許是畢達哥拉斯學派最大的貢獻。然而，在當時它的發現為什麼會被古希臘人認為是悖論並引發如此嚴重的問題呢？我們有必要對此進一步說明。
首先，這一發現動搖了畢達哥拉斯學派的數學與哲學根基，它將推翻畢達哥拉斯學派「萬物皆數」的基本哲學信條。不可通約量的發現表明有些量不能用數來表示，這就宣告他們「一切事物和現象都可以歸結為整數與整數的比」的數的和諧論的破產；而他們建立在數的和諧論上的對宇宙本質的認識也是虛妄的。
其次，這一發現摧毀了建立在「任意線段都是可通約的」這一觀點背後的數學觀念。具體而言，畢達哥拉斯學派接受一種數學原子論的觀點。這種質樸的觀念認為：線是由原子次第連接而成，有如項鍊是由一串珠子組成一樣。原子可能非常小，但都質地一樣，大小一樣，它們可以作為度量的最後單位。這一認識構成了畢達哥拉斯學派的幾何基礎。
更重要的是，這一發現摧毀了人們通過經驗與直覺獲得的一些常識。根據經驗以及各式各樣的實驗，任何量，在任何精度的範圍內都可以表示成有理數。這不但是古希臘人普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！對於日常生活來說，有理數是足夠用了。對於科學研究而言，僅有理數也夠用了。就度量的所有實際目的來說，有理數都是完全夠用了。
而不可通約量的存在，意味著當我們用輾轉相除法比較兩線段的長度時，這個過程將會無限進行下去，永無休止；意味著我們即便有一根刻有非常非常精細刻度的理想的尺子，我們也無法量出所有長度，因為當我們面對不可通約量時，我們需要無限次地看尺子上的刻度，而且永遠看不完；意味著在比較兩條線段的長度時，有時候你永遠也找不到一個共同的度量單位；意味著就度量的所有實際目的來說完全夠用的有理數，對數學來說卻是不夠的……
面對不可公度量，古希臘人陷入困惑與混亂之中。更糟糕的是，面對由不可公度量帶來的多重毀滅性打擊，人們竟然毫無辦法。這就在當時直接引起人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機。
但真理終究是真理，危機爆發30年後，柏拉圖的學生攸多克薩斯解決了關於無理數的問題。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論。這種理論最終得到了大眾的接受與認可，也標誌著第一次數學危機的結束。