高中數學~指對不等式的切線找點分析,想快速放縮證明的看過來

2020-12-25 高中數學的多角度思維

在證明指對不等式時，有個快速簡捷的方法，那就是切線放縮，而切線放縮最大的難點在於放縮成什麼樣子，才是題目中需要的。

指數放縮的基本公式是e^x≥x+1,x=0取等，對數的基本放縮是x≥lnx+1，x=1取等,但是我們實際操作時，大都不是這兩個式子直接放縮，比如本題，我們把e^x放縮成x+1，這時候會引入x^3+x^2,而右側通過基本放縮變成x，約掉x,變成了x^2+x>1顯然此式子在x>0不是恆成立，這時你只要分析哪裡不成立就可以了。

通過分析，我們不難發現，當x≥1上述不等式是成立的，那麼這時我們就要從，0<x<1這裡來分析，我們不妨二分（0，1），取點1/2，來試試，通過試探，發現此時滿足題意，則證明完成，詳細過程請見方法二。感謝您的閱讀，喜歡可以加個關注，也歡迎大家留言評論，一起探討學習！

相關焦點

  • 學好高中數學的32個技巧-系列2切線不等式
    本文以不等式與導數結合的題目為核心，以切線不等式迅速破題，希望能為各位學子帶來幫助。通過這篇文章，我們講一個「切線不等式」，來幫助基礎知識掌握得不錯的同學進一步提高解題速度，從而為我們學好高中數學走好第一步。方法介紹-李澤宇老師數學三招之「盯住目標」什麼是「盯住目標」？
  • 高中數學選修(4-5)不等式的證明
    不等式的證明是高中數學的難點，在高考中一般不直接考試，會以不同的形式出現，而柯西不等式只要求會簡單應用。考試大綱：1、了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法。柯西不等式重點一：三元均值不等式利用基本不等式必須要找準「對應點」，明確「類比對象」，使其符合幾個著名不等式的特徵，注意檢驗等號成立的條件，
  • 高中數學不等式證明基本方法:歸納法+放縮法
    高中數學的計算，有兩個難點：一是不等式的證明問題，二是最值問題。最值問題的基本方法有：一元二次函數法，三角函數法，單調性直接判定，基本不等式法，再就是圖像法，根據圖像幾何特徵，找特殊位置，定答案。不等式的證明，對於特殊函數，比方說二次函數，指數函數，對數函數，正弦，餘弦，對勾函數等，可直接利用圖像判定，結合單調性說明即可，但，有很多函數是非特殊函數，圖像更是無從把握，式子之複雜，更是無法化簡，不像三角函數，有了歸一公式和降次公式，複雜點的式子也能化成一個單一的特殊函數進行求解。
  • 高中數學——函數思想專題,函數圖像+不等式放縮應用,可列印
    在數學解題過程中，解決問題以後，再回過頭來對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個重要環節．這是數學解題過程的最後階段，也是對提高學生分析和解決問題能力最有意義的階段．解題教學的目的並不單純為了求得問題的結果，真正的目的是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養學生的創造精神，而這一教學目的恰恰主要通過回顧解題的過程來實現．所以，在數學教學中要十分重視解題的回顧，教師與學生一起，或者學生獨立解題後對解題的結果和解法進行細緻的分析，對解題的主要思想、關鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，可以幫助學生從解題中總結出數學的基本思想和通性通法並加以掌握，並將它們用到新的問題中去
  • 高考數學原創試題—導數問題與不等式放縮
    函數、導數、不等式是高考數學的重點和難點，這幾部分知識交織在一起經常成為高考壓軸題的常見考法。其中涉及到函數的不等式證明問題在高考中經常出現，需要考生有靈活的應變能力和一定的解題技巧。而在處理不等式證明問題的時候，放縮法是一種重要的證明方法，如果說不等式是數學中最美的女神，那麼放縮法則是女神最依賴的化妝師。
  • 高中數學常用的放縮公式大全
    對數放縮1、放縮成一次函數2、放縮成雙撇函數指數放縮1.放縮成二次函數指對數放縮對數平均值不等式鏈記憶口訣：小者小，大者大；解釋：看字母，小，則不等式的符號是小於號，反之大於號。
  • 高中數學:你們要的帶放縮的數列題
    關注默契小甜瓜，每天分享不一樣的小知識前幾天發了兩篇關於高中數學數列的文章，有同學談到題目不涉及放縮，難度只和浙江高考第一小問相當。主要看第二小問，第二小問中通過 an 和 bn 構造出 cn ，並要求證明：這裡就涉及到所謂的放縮了，放縮其實就是找到一個中間值，讓這個中間值大於（大於等於）不等式左邊的這個值，然後小於（小於等於）右邊的這個值，這往往是不容易的。
  • 高中數學:一道帶放縮的求函數極值點的題
    關注默契小甜瓜，每天分享不一樣的小知識前幾天發了幾篇文章和大家探討了一下高中數學中的數列題，有網友評論說數列題還好，函數題比較難。題目已知帶兩個未知參數 a ，b 的函數 f(x) 在點 (1, f(1)) 處的切線方程。第一小問讓我們求出 a, b 的值，其實，已知切線方程就等於已知了函數 f(x) 在 x=1 處的值，以及導函數 f'(x) 在 x=1 處的值，所以第一題非常簡單，計算過程如下：這樣，第一小題就求出來了 a=2，b=1，非常簡單。
  • 高考數學熱點題型分析—關於指對不等式的處理技巧
    本文選題是2014全國卷1，關於指對不等式的處理問題。第一種方法，重新布局，分而治之，簡單來說，找到兩個可以求出最值的函數，讓其中一個函數的最小值大於另外一個函數的最大值，或者讓一個函數的最大值小於另外一個函數的最小值，找這兩個函數的過程我們稱之為對不等式的重新布局，分別求這兩個函數的過程我們稱之為分而治之；第二種方法叫同構法，此法是導數變形的基礎，常見的指對同構xlnx=
  • 系統歸納導數壓軸大題常用放縮技巧類型及背後意圖,助你活學活用...
    不等式證明問題不等式是高中數學的重要模塊，且常常與其它很多模塊綜合來應用，比如與數列、函數等問題綜合，應用非常廣泛。不等式證明的方法有很多，包括綜合、分析、類比、換元、反證、歸納、裂項、放縮法等常用方法。這些方法一般在學導數前就已學過和熟練掌握了，這裡不再贅述已學過的內容。而導數作為一個重要數學工具，也是不等式證明的一種重要方法，相關內容正是本專題的核心內容，已在前面講過，這裡也不再贅述。
  • 導數放縮思想在零點存在判定上的用法
    在考試之前會把導數中的放縮思想分成三個專題進行推送一遍，即放縮在零點存在判定上的用法，放縮法在不等式證明中的作用，放縮法在參數取值範圍上的用法，今天結合最近的感悟給出放縮思想在零點存在上的判定。一、存在參數的單調函數如何判定存在唯一的零點？
  • 構造函數不等式放縮證:2020天津高考數學壓軸題
    本題最難的是第三問，原函數f（x）裡面有個InX，這是一個提醒，常用的技巧是構造函數與其比較，從而達到放縮的目的。比如，InX<X－1，這是常見的技巧，你可以自己證明並掌握，怎證？令g（Ⅹ）=InX－X+1，求導，利用它的單調性，得到X=1時有最大值，代入得證。（如果是e^x，或其它函數，你會找別的函數與之比較，從而實現放縮嗎？）
  • 高考數學導數都在考什麼？請看專欄目錄，供衝擊滿分的同學準備
    第55課導數壓軸題對數函數的切線及二次放縮及數列差分思想應用將平方式轉化成首項不放縮的裂項相消法（天津2012）.第56課導數含參討論要做到不重不漏，放縮法藉助數列中差分思想解決壓軸題.第57課高考數學導數放縮法指數對數三角函數可放縮類型分析.第58課高考數學導數壓軸題：對數平均不等式考點介紹及證明.第59課藉助對數均值不等式和極值點偏移研究高考數學導數壓軸題，要注意指對互化.
  • 高中數學:函數放縮的基本原則是什麼?
    關注默契小甜瓜，每天分享給不一樣的小知識今天看到一道選擇題，感覺還不錯，所以想和大家分享一下，題目如下：這是 2019 年北京高考數學卷最後一道選擇題，雖然只是選擇題，但是還是有一定難度的，下面我們一起來做一下
  • 高考數學：利用導數證明不等式的常見題型
    ，從而證明不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造一個可導函數是利用導數證明不等式的關鍵.題型5設而不求當函數的極值點（最值點）不確定時，可以先設出來，只設不解，把極值點代入，求出最值的表達式而證明.題型6估值法極值點不確定，先把極值點設出來，再估計極值點的取值範圍（限制得越小越好），從而證明不等式.
  • 高中數學:一道涉及新放縮方法的數列題
    ——公差和首項，已知兩個條件就能求，所以第一小問特別簡單，計算過程如下：這樣，第一小問就算出來了，an = 2n - 4 ，特別簡單，就不多強調了，關鍵看第二問。第二小問讓我們證明一個不等式，不等式左邊是關於 an 表達式的前 100 項求和，右邊是一個常數，很顯然不能用到文章
  • 高中數學基本不等式及應用全攻略,高考衝刺!
    導數壓軸題考察的是一種綜合能力，其考查內容方法遠遠高於課本，其涉及的主要概念是：切線，單調性，非單調，極值，極值點，最值，恆成立等等。觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的「差異分析」;運用相關公式，投出差異之間的內在聯繫；選擇恰當的公式，促使差異的轉化。
  • 2021高考數學備考：利用導數證明不等式的常見題型
    ▼題型1 構造函數法把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值的問題，從而證明不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造一個可導函數是利用導數證明不等式的關鍵題型5設而不求當函數的極值點（最值點）不確定時，可以先設出來，只設不解，把極值點代入，求出最值的表達式而證明.
  • 導數雜題幾道(零點差,切線割線放縮,極偏問題)
    零點差問題，簡單總結一下，基本套路有三個：（1）切線放縮；（2）割線放縮；（3）直接找點放縮，找點放縮的難度最大，2015天津高考中出現過切線放縮的方式，一般這種提示的比較明顯，第一問往往就為讓你算切線。
  • 「2021天津市高考數學」導數（1） 導數不等式與切線
    「切線不等式」，而且因為在證明不等式時，它們的出鏡率確實太高了，所以也有人稱它們為「萬能不等式」。雖然這個式子與原不等式不等價，但萬一成功了呢？只是在求H(x)的極值點時，往往會遇見超越方程的求解：　①如果超越方程易解，那就恭喜你了！　②如果超越方程不可解，可嘗試設出極值點後(設而不求)，再用整體替換的方法求出極值。　③如果整體替換行不通了，則考慮放縮法。