初二數學,如何用全等和勾股定理求線段長度?這個方法考試經常用

2020-12-15 陳老師初中數理化

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全等三角形和勾股定理是初二數學的重要知識點，也是各類考試的常考題型，本文就例題詳細解析利用全等三角形性質和勾股定理求解四邊形邊長的解題思路和輔助線作法，希望能給初二學生的數學月考複習提供幫助。

例題

如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的長。

解題過程：

在AB上取AE=AD，連接CE

根據角平分線性質和題目中的條件：角平分線把一個角分成相等的兩個角，AC平分∠BAD，則∠CAD=∠CAE；

根據全等三角形的判定、題目中的條件和結論：兩組對應邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，AD=AE，∠CAD=∠CAE，AC=AC，則△CAD≌△CAE；

根據全等三角形的性質和結論：全等三角形的對應邊相等，△CAD≌△CAE，則CE=CD；

根據題目中的條件和結論：CD=10，CE=CD，BC=CD，則BC=CD=CE=10；

過點C作CF⊥BE，交BE於點F

根據題目中的條件：CF⊥BE，則∠AFC=∠BFC=90°；

根據等腰三角形的性質和結論：等腰三角形底邊上的高是底邊的中線，BC=CE，CF⊥BE，則EF=BF；

設BF=x

根據題目中的條件和結論：BF=x，EF=BF，則EF=x；

根據題目中的條件：AE=AD，AD=9，則AE=9；

根據結論：AE=9，EF=x，則AF=AE+EF=9+x；

根據勾股定理、題目中的條件和結論：∠AFC=90°，AC^2=AF^2+CF^2，AF=9+x，AC=17，則17^2=(9+x)^2+CF^2，即CF^2=17^2-(9+x)^2；

根據勾股定理、題目中的條件和結論：∠BFC=90°，BC^2=BF^2+CF^2，BF=x，BC=10，則10^2=x^2+CF^2，即CF^2=10^2-x^2；

根據結論：CF^2=17^2-(9+x)^2，CF^2=10^2-x^2，則17^2-(9+x)^2=10^2-x^2，可求得x=6，即BF=6；

根據結論：EF=BF，BF=6，則EF=6；

根據和結論：BF=6，EF=6，AE=9，則AB=AE+BF+EF=21。

結語

本題的解題關鍵是利用角平分線作出輔助線，構造出具有特殊性質的全等三角形和等腰三角形，再利用等腰三角形三線合一的性質構造出特殊的直角三角形，最後利用勾股定理和方程求解三角形。這種解題方法在考試中經常用到，值得大家學習並掌握！

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