常說「數學思維」，何為數學思維？

2020-09-05 科學出版社

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總說「數學思維」，何為數學思維？

1. 思維概說

(1)何謂思維 思維是人腦對客觀事物本質屬性和內部規律的概括的間接的反映.

認識分感性認識(包括感覺、知覺、表象)和理性認識(包括概念、判斷、推理), 思維是指以感性認識為基礎的理性認識, 是感性認識的概括和升華. 表象是頭腦中再現的某一類事物的形象, 表象是感性認識向理性認識轉化的橋梁, 概念是思維的細胞和主要形式.

(2)思維的品質 思維的品質是指, 思維的深刻性、廣闊性、靈活性、創新性、敏捷性和批判性.

(3)思維的分類 到目前為止, 思維尚無統一的分類, 不同的人有不同的分類方法.

按思維過程的指向分為正向思維和逆向思維, 還可分為集中思維和發散思維; 按思維的品質可分為再現性思維和創造性思維; 按是否經過明確的思考步驟分為邏輯思維和非邏輯思維, 邏輯思維又分為形式邏輯、數理邏輯和辯證邏輯, 非邏輯思維分為形象思維、想像、直覺和靈感(或頓悟).

形式邏輯是關於思維形式、規律和方法的科學, 其中思維形式是概念、判斷和推理; 思維規律是同一律、矛盾律、排中律和充足理由律; 思維方法是分析與綜合、抽象與概括、歸納、演繹、類比和猜測.

數理邏輯是用數學方法研究形式邏輯.辯證邏輯是研究思維如何正確反映客觀事物的運動變化、內部矛盾和相互聯繫轉化的科學.

2. 數學思維

數學思維既具有與一般科學思維的共性, 也有它自身的特點. 所謂數學思維是指, 人腦關於數學對象的理性認識過程. 數學思維與數學科學一樣具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性, 還具有實驗、猜測、直覺、美感等特點.

通常數學思維可分為邏輯思維、形象思維和直覺思維.

邏輯思維是以概念為思維材料, 以語言為思維載體, 每前進一步都有充分依據的思維.它以抽象性為主要特徵, 其基本形式是概念、判斷和推理.

形象思維是依靠形象材料的意識領會得到理解的思維, 它的主要特徵是思維材料的形象化, 其基本形式是表象、直覺和想像, 它在數學中激勵人們的想像力和創造性, 常常導致主要的數學發現.

直覺思維是以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題實質的思維, 它的主要特點是能在一瞬間跳過明確的邏輯推理過程, 迅速直達問題的結論. 其基本形式是直覺與靈感(或頓悟).

所謂靈感, 或頓悟, 是指人們對長期探索而未解決的問題的一種突然性醒悟, 它具有突發性、偶然性、創新性和非邏輯性.

直覺是對數學結構及關係的某種直接領悟或洞察, 具有非邏輯性和下意識的自發性.

邏輯思維是數學思維的核心, 形象思維是數學思維的先導. 在一般的數學思維過程中,往往是這兩種思維交錯運用的綜合過程. 而直覺思維是這兩種思維發展到一定水平後才能形成的思維.

邏輯是證明的工具, 直覺是發現的工具, 它們互相補充, 交互作用, 都是數學家進行創造的武器.

3. 例談

例 1

極限理論體現了辯證思維.

牛頓起初把變化的瞬「 」看作「非零」 , 變化的「 」與不變的「零」絕對不同, 體現了變與不變相對立的一面. 然而牛頓缺乏辯證邏輯思維, 在最後一步不得不違心地把非零「 」看作「零」 , 違背了形式邏輯中的排中律, 陷入了矛盾, 不能自拔. 引入極限理論之後, 當 時, 變化著的瞬「 」自然轉化為「零」 , 完成了「非零」向零的轉化, 這是變與不變的統一, 體現了辯證思維, 徹底解決了第二次數學危機. 辯證思維的運用, 標誌著人類認識的一大進步.

例 2

當 時, 變量 是無窮小量嗎?

解首先利用化歸方法將變量變形:

好書推薦：

《高等數學基礎》

《高等數學基礎同步訓練》

編輯推薦語：

普通高等院校創新思維訓練教材

普通高等院校少數民族預科教材

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Part.01

《高等數學基礎》著眼素質教育, 注重數學內容、思維之間內在的聯繫, 條理、結構、脈絡清晰, 能培養學生數學思維能力, 便於教學與學習. 在教材內容選取和講述上,本著從簡單到複雜、從特殊到一般的原則, 力求深入淺出, 「預、補結合」 , 難易結合, 易教易學, 主要內容包括: 函數、極限、連續函數、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、不定積分、定積分以及定積分的應用. 為了增加可讀性與趣味性, 同時還增加了一些數學思想方法簡介和數學家簡介, 兼顧各個層次民族預科學生學習狀況, 還分層次提供多種程度的習題.

本書主要供普通高等院校少數民族預科班和高職高專院校的學生學習使用,也可供相關學生自學使用和教師教學參考使用.

書名：《高等數學基礎》

書號：978-7-03-058601-8

作者：王立冬，奉黎靜，林屏峰等

Part.02

《高等數學基礎同步訓練》是為普通高等教育「十三五」規劃教材、普通高等院校創新思維訓練教材和普通高等院校少數民族預科教材《高等數學基礎》編寫的教材配套輔導書. 按照教材的章節, 給出了每章的基本要求、知識框架、典型例題、課後習題全解、拓展訓練和自測題. 本書旨在幫助學生熟悉教材, 提高解題能力, 形成創新思維,為今後的學習和工作奠定堅實的數學基礎.

本書主要供普通高等院校民族預科班和高職高專院校的學生學習使用, 也可供相關學生自學使用和教師教學參考使用.

書名：《高等數學基礎同步訓練》

書號：978-7-03-058602-5

作者：劉滿，王立冬等

本文首發於「科學出版社數學教育」微信公眾號。微信封面圖片來自Pixabay。

本期編輯丨張中興 王芳

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    在數學教學過程中，不單是讓學生掌握數學知識，更多的是要向學生傳授良好的學習方法，並指導學生用這些方法進行數學問題的探究分析，在這個過程中，能夠進一步提高學生的數學思維能力，使學生進一步樹立創新意識。所以，老師在傳授數學知識時，如何進一步提高小學生的數學思維能力成為數學教學的重要步驟。
  • 媒體刊文:數學思維今何在?
    數學思維是搭建數學世界最重要的根基，不管是純粹的數學學習與數學研究，還是把數學工具應用到其他領域，數學思維都發揮著重要作用。」周川說。具體來講，數學思維包括邏輯思維、形象思維、空間抽象思維等。它如同數學這棵參天大樹的龐大根系，雖然從外表上看不見，卻為數學提供著重要的營養源泉。「我們常說數學是優美的，這種美就主要體現在它的思維之美。」周川說。
  • 「天才」兒童的數學思維指南
    周四思維 全文共3980字，閱讀時間5分鐘某年某月的某一天，有人在微博上發起了取消數學高考的投票。一石激起千層浪，數萬人踴躍參與。公投結果為70%的人支持取消數學高考，30%的人希望保留。在世間，難逃避命運～閒聊了一個鍾，本文其實是想說一說如何啟發小朋友對數學產生興趣，意不意外！不喜愛數學的大人，也能培養出熱愛數學的仔，可別把討厭數學當做傳家寶代代相傳啦。
  • 數學思維、數學思想和數學方法的聯繫與區別
    生活中經常聽到有人這樣說：數學有什麼用？我只是買菜中用到了數學！其實數學老師會淡淡一笑，然後告訴你：你買菜時用到了數學知識，但學好了數學，可以決定你在什麼樣的菜市場買什麼樣的菜！由此可見，數學不僅僅是計算，更主要培養學生用數學思維分析世界，用數學思想觀察世界，用數學方法解決現實世界的問題，數學思維指人類關於數學對象的理性認識過程，包括應用數學工具，解決各種實際問題的思考過程，也就是研究數學對象的本質和內在聯繫的認識過程。
  • 數學的四種抽象思維
    弱抽象 一般地，如果說經過抽象的數學對象，在概念外延上更寬廣一些，而在內涵或結構上相對弱一些，這種抽象為「弱抽象」。簡單的說，就是減弱數學結構的抽象。而從貌似不同的同類的數學對象中找出共同的東西，在眾多的屬性或特徵中辨認出本質屬性與特徵的抽象法則，稱為「特徵分離概括化法則」。 強抽象 而區別於弱抽象的從同類數學對象中抽取屬性或特徵的另外一種抽象類型，通過把新特徵引入原有數學結構加以強化而形成，這種抽象即為「強抽象」。
  • 高中數學的直覺思維
    它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰地觸及到事物的「本質」。創造性：伊恩·斯圖加特說：「直覺是真正的數學家賴以生存的東西」，許多重大的發現都是基於直覺。
  • 數學思維賽道正熱,「何秋光數學思維」的邏輯是先做好教育內容
    數學思維培訓是一個巨大的增量市場，涉及到素質啟蒙和學科教育，火花思維將整個賽道拉上了資本的風口。除了在線一對一教學之外，數學思維啟蒙其實還有很多模式可以探討。何秋光數學思維產品通過CEG學習的模式，以知識點為核心，讓孩子掌握方法。Cartoon（動漫）對孩子興趣導入和場景營造，Explain（講解）由何老師親講，用兒童化語言讓孩子認知並理解，Game（遊戲）讓孩子做遊戲題檢驗學習成果，並通過線下教具盒子的實物操作，線上線下互動教學提升學習成效。
  • 教師如何培養學生的數學思維能力
    數學思維是用數學思考問題和解決問題的思維活動形式。實際教學中如何培養學生的數學思維能力呢？培養學生數學思維就是數學教師在數學教學活動過程中，引導學生根據數學素材進行具體化的數學構思，進行數學運算，形成數學感知，也就是我們常說的「數感」，是一種動態的數學思維活動。應試教育背景下，教師教學中往往為了講課而講課，忽略了學生思維的過程，直接將抽象的概念和公式拿出來講，讓學生感覺數學成了空中樓閣，「看不見」也「摸不到」，並認為數學是根本沒用的知識。
  • 如何學好數學,建立數學思維?我建議繪製思維導圖
    大家都知道，學習數學必須建立系統思維，如果沒有體系化的認知，只是盲目的刷題，學習效果會非常差，可以說是事倍功半。但是對小學生來說，讓他們建立系統思維其實是很難的，有沒有一種方法，能夠讓小學生掌握並提升他們的系統思維呢？我的回答是，有，這種方法就是繪製思維導圖。
  • 孩子數學不開竅,影響不容忽視,培養數學思維有利提升
    正因為這樣的想法，往往只會讓孩子對學習數學抱有消極、畏難的情緒。吳媽有兩個兒子，大兒子今年剛升初一、小兒子今年才五年級，兩個孩子的成績都算不錯，但是剛升初一的大兒子，小學成績不錯，尤其是數學，但在升初一後，數學成績退步不少，可說是直蕩谷底，這也讓大兒子非常消極。對此，吳媽不知道該如何是好？躊躇著要替孩子多報點補習班。
  • 蒙臺梭利常青藤MIS蒙氏數學,為孩子建立正確的數學思維
    蒙臺梭利常青藤MIS蒙氏數學作為一家源自義大利的輔導教育機構,以其成套的教學體系和豐富的教教學工具,促進孩子思維發展,培養邏輯力和思考力,引導孩子更有興趣地進行蒙小數學學習,為眾多迷茫的家長指明了方向。
  • 數學≠數學思維，這個問題搞不清，數學就白學了！
    能這麼厲害，就是因為數學思維牛啊！雖然我們大部分人會忘記具體的數學知識，但其實形成的數學思維，是會一直影響我們的工作和生活的。今天就來跟大家聊一聊，數學思維到底有什麼用？這就是數學思維在起作用。換句話說，數學思維好，也不容易被騙呀。>>>>笛卡爾的方法論還說，可以將複雜問題，儘量分解為多個比較簡單的小問題，一個一個地分開解決。並且將這些小問題從簡單到複雜排列，先從容易解決的問題著手。
  • 怎樣提高數學思維能力？說的太詳細了
    數學思維是對數學對象（空間形式、數量關係、結構關係等)的本質屬性和內部規律的間接反映，並按照一般思維規律認識數學內容的理性活動。為了教師和學生之間實現更加高水平的教、學平衡，提高學生數學思維能力刻不容緩。當然，習慣不是三兩天就能養成的，更何況數學思維習慣，它的養成需要落實到平時的學習生活中去，從思維品質的形成開始。