小學數學,帶餘除法怎麼轉換成整除形式

在小學的起初階段，大家所學的計算都是自然數的加、減、乘、除。大家有沒有發現一個規律：兩個自然數，無論是做加法運算，比如：2+3=5；減法（小學階段沒學負數，大減小）3-2=1；還是乘法比如：2×3=6，計算出來的結果都是自然數。

但除法很特別，兩個自然數相除有可能正好能整除，得到的是整數，比如8÷4=2。

但也有可能不能整除，比如10÷6=1……4。雖然被除數和除數都是整數，但還是不能整除，產生了餘數。

帶餘除法

為什麼會這樣？這是因為在整數範圍之內，加法、減法、乘法都具有封閉性，進行這三種運算得到的結果仍然是整數。換句話說如果整數的加、減、乘法運算結果得到的不是整數，那麼計算結果一定是錯誤的。

但是除法運算就沒有封閉性。

也正是由於這種不確定性，比如我們列豎式除法，要進行試商。大多數人沒那麼喜歡除法，乘法的結果就一種明確的答案，相對而言乘法要簡單明了一些。

但事實上我們現實生活中，真正能整除的情況是比較少的。也就是說帶餘除法會更普遍。我們無法因為不喜歡它就遠離它。如果能想辦法把帶餘除法變成整除不就好多了？整除換個形式其實就是乘法的逆運算。a÷b=c，將這個式子變形一下，a=b×c，這不就是大家熟悉的乘法運算嗎？

那麼帶餘除法和整除有什麼關聯嗎？能轉化嗎？

數學

被除數÷除數=商……餘數，如果用字母來表示：a÷b=c……d。

被除數=除數×商+餘數，如果用字母來表示：a=b×c+d。根據等式的性質，我們可以將這個式子進行變形，a-d=b×c，b=(a-d)÷c。

舉個例子：8÷3=2……2，如果要讓它變成整除形式怎麼辦呢？用被除數減2，剩下的部分不就能整除了？（8-2）÷3=2。

不過這只是其中的一種常見思路，另外一種，我們去給這個被除數加上一部分也是可以讓它能變成整除的。還以剛才的數據為例題。假如爸爸有8顆糖分給姐弟3人，發現無法平均分，因為少1顆。那怎麼辦，隊了每人分2顆，剩下2顆外。如果再來1顆糖的話，那不就每個人都能得到3顆，也就變成了9÷3=3（顆）。

這個思路可能覺得有點奇怪，改變了原來的答案。確實在平常的解題過程中，我們一般是不會用到這種思路的。但在同餘問題，它卻是一個必須掌握的方法之一。

比如下面道來自（楊輝《續古摘奇算法》）的題：七數剩一，八數剩二，九數剩四，問本數？

用我們今天的話來說，7個7個數餘1，如果8個8個數餘2，如果9個9個數餘4，問這個數是多少？

我們再把它翻譯成數學語言：一個數除以7餘1，除以8餘2，除以9餘4，這個數最小是多少？（不設定最小會有無數個答案）

小學數學

大家有沒有發現，除以7餘1，除以8餘2，它們都只差6，如果我們補上一個6，是不是剛好能被7整除，又能被8整除？所以滿足這個條件的數是7和8的最小公倍數56，但是56是怎麼來的呢？是我們加了6之後得到的，所以把它還原回去，它本身就是56-6=50。滿足這個條件的下一個數是50+56。

好了現在滿足兩個數了，然而我們發現50除以9的餘數是5，並不是4，怎麼辦？接下來我們用50加56的倍數除以9。每加一個56，餘數會增加2，變成了餘7了，有人說這餘數都越來越大了？沒錯，不過餘數必須小於除數，超過9之後，需要再除以9，一直到滿足除以9餘4，就是滿足要求的最小的數。

最後經驗證滿足要求的最小的數是：50+56×4=274。這個過程會有一點點麻煩，但思路是這樣，我們無法一下滿足所有條件，那就通過逐個滿足的方法。先找出符合兩個數除數要求的最小的數，然後再去驗算，每次加則是加這兩個數的最小公倍數。

這種題型比較難，也比較麻煩，一般在學了最小公倍數以後會遇到。

轉換是一種思想，將不是很好處理的問題，轉換成我們平常所熟悉的問題。

當然最簡單的就是某個自然數除以幾個不同的自然數，得到的餘數都相同，問這個數最小是多少？

對於這種題有人說答案是：餘數加這幾個數的最小公倍數。其實這種答案並不是最小的，而是第二小的答案。滿足條件最小的數就是這個餘數。

下一篇文章我們會就這個問題進行分析，歡迎關注。