微積分原理,即求面積和求斜率是互逆運算

微積分原理

微積分原理，一言以蔽之，即，微分和積分是互逆的運算。在同濟版的高數教材中，有微積分基本定理，即∫f( x) dx= F(b)—F(a) (1)

它是什麼意思呢？就是一個函數求定積分，等於積分函數之差。

再看一個微分公式，即dF( x)/ dx= f(x) (2)

它的意思是積分函數的微分等於原函數。

比較這兩個公式，就可以看出，是有聯繫的。

微積分基本公式，即牛頓萊布尼茨公式

讓我們離開公式，積分就是求面積，這個積字就這麼來吧。早在阿基米德，就用他的方法，將圓內接和外切正多邊形，以其多邊形邊長趨向無窮時，其多邊形就認為是圓。當然這裡面還有哲學的含混不清。

所以積分就是求和，只不過求和的項有無窮多，稍微再多些哲學思考，這些無窮多項求和的結果並不導致無窮多，這和普通常識是有錯覺的。

求和的符號是∑，比如∑n=1+2+3+4+5+……＋n

哲學家，萊布尼茨像

萊布尼茨將求和符號，即∑拉長，就變成了符號∫。所以求和與積分是有聯繫的，即求和可以說是積分的一個子集。或者簡單理解，求和是有限項求和，而積分是無限項求和。

所以對無限項求和，再取極限，就是積分。

最簡單的就是拋物線下的面積。在講其之前，我們來看一個更簡單的例子，即直線下的面積。這根射線將過原點和第一象限。所以該直線下的面積就是三角形面積。

那麼拋物線下的面積，要將拋物線分割成比如無限個近似梯形，然後求和，當然其解要用到∑n^2，需要一定的數學技巧，就是1^2+2^2+3^2+4^2+……

上面講的是積分的問題，而微分在概念上要簡單一點，就是求曲線的切線的斜率。如果有數值計算的經驗，不防計算割線的斜率，即(y2-y1)/(x2-x1),讓點(x2,y2)趨近點(x1,y1),如果你有耐心計算一系列割線的斜率，你會發現它趨向一個固定的值，這個值就是切線的斜率。

牛頓和萊布尼茨發現，一個函數先求積分，就是函數曲線下的面積，然後再求所得函數的微分，即斜率，你會發現又回到了原來的函數。

就像先做加法，再做減法，這樣不加也不減。微積分也是這樣，無論先做積分，再做微分，還是先做微分，再做積分，你總是回到原來的函數，這就提示我們本文開頭提出的答案，積分和微分是互逆的運算。

牛頓像