如何快速立起掃把——從數學角度找到掃把的重心

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引言

近日，立掃把挑戰可謂是火遍朋友圈和微博，原因是大家看了一個傳聞：「NASA說因為今天地球完美的重力角度，是唯一一天可以讓掃把獨自站立的日子。」那麼真的是這樣嗎？答案是否定的，因為掃把能立起來的根本原因是你成功找到了掃把的重心，而不是地球引力的作用。

（圖源網絡）

下面我們就從數學的角度帶大家找找掃把的重心，快速立起掃把。

模型

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立體幾何法

我們都知道，一條線段的重心在在其中點上，那麼三角體（四面體）的重心大家會求嗎？

笛卡爾的想法是，將它的一個頂點壓低一點，再壓低一點，一直壓到底面內，四面體就變成了三角形。如果任意四面體的重心不會求，那麼把它壓成一個三角形，問題變為求三角形的重心。

同理，再把三角形的一個頂點往下壓，直到把這個頂點壓進另一條邊內，這樣一個三角形就變成了一條線段。（這也是為什麼三角形的重心為各邊中線交點的原因）

而四面體可以被看作是以四面體的一個面為底，由一個一個的三角形向上堆起來的，每個三角形的重心連成了一條線，而分別以四面體的四個面為底面堆三角形，就有四條由重心連成的線，這四條線交在一點上，這個點就是四面體的重心。

下面我們說掃把，我們把掃把簡化成一個長長的圓柱體（即可看為線段）加一個扁形梯形體（即可看為截取上半部分的五面體）。

根據前文的結論，我們可以很容易地求出掃把的重心，即先分別求出圓柱體和梯形體的重心，再求出兩重心連接線段的重心即可。

圖解如下：

2

力矩合成法

首先，我們將掃把劃分為多個環節，每個環節視為一個剛體，即認為在運動或受力過程中，掃把環節的形狀和大小以及內部各點的相對位置不變。如下圖所示：

根據力矩定理有：掃把重心的合力力矩等於掃把各環節分力力矩的代數和，即：

式中：

M表示掃把重量；

Xc、Yc分別是重心X、Y方向坐標；

Xi、Yi是環節重心坐標；

mi是環節質量。

則由此可得掃把重心的坐標位置

在確定圖中掃把每個環節的重心後，然後將獲得的各環節質量與掃把總質量比作為計算掃把重心的各環節係數。最後將各環節重心分別帶入上式，即可得到掃把重心位置。

由於重心測量時的實際需求，我們也可以運用力矩合成法的改進算法「乘係數法」，即：

其中，ki表示該關節點對應的係數。

此法可以提高力矩合成法的計算速度，不經過計算環節重心和環節重心坐標，使用掃把各點的坐標位置，直接計算重心。

3

槓桿定理

此外，要想找到掃把的重心，還有一種簡單的方法就是把掃把放在一水平支架上，恰使它在支架上能保持水平平衡，此處O為重心，如下圖所示：（當然，支架也完全可用手指代替）

這是運用了槓桿原理，即將一物體橫放在水平放置的支架上時，當槓桿在水平位置平衡時，說明與支架的接觸點則為物體的重心。

結語

因此找到掃把重心後，握住重心處很容易快速將掃把立起來。（PS：小數已經親測成功了，還沒有立起來掃把的小夥伴快試試吧。）當然，這也證實了基礎物理學在一年中的每一天都有效，而不僅僅是2月10日。

最後，看完的小夥伴們請記得點個在看哦。

參考文獻

崔志榮.倒過來思考讓思維更流暢——學習《做數學是倒過來的》一文有感[J].數學通報,2017,56(06):41-44.

楊再興.基於體感交互設備的人體重心計算方法[D].南京師範大學,2017.

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