04-04-11_小車豎直圓周運動摩擦力做功
本期高中物理競賽試題，我們共同來研究一下變力做功問題的微分解題思路，其實在競賽題目中，很少使用功元的方式求解做功多少的，本期題目還是屬於並不多見的內容之一，究其原因主要是該方法必定要與微積分的計算過程相聯繫，這種思路並不是高中物理競賽種非常推薦的思路，對於本期的這個題目，小編也考慮過很多其它的方法來解決這個題目，儘量避免使用微積分的原理來計算求解，但是都沒有成功，這裡小編將這個題目分享出來，也希望同學們能夠想出相關的方法後，能夠分享給其它同學，共同進步與成長。近期由於小編有些別的事，導致最近幾期題目並沒有每天都發，這裡小編也非常抱歉，以後會儘量保持每天一篇的周期，給各位有志於物理競賽的同學們分享更多更好的優秀高中物理競賽解題方法和思路。
對於本期的題目，就微分的解題思路而言，並沒有什麼非常複雜的分析過程和思路，主要的難點其實還是集中在積分計算過程中的，並且這個題目中的積分計算還有一個技巧，這裡小編在後面的具體解題過程中，會做非常詳細的說明，這裡小編先賣個關子，在解題思路上，這個題目幾乎沒有思路可說，完全就是高中物理題的水平，雖然是這樣，但是在列方程過程中，也順帶著考查了學生的微分列方程的思想。
典型例題與解題步驟
如圖1所示，質量為 m 小車以恆定速率 v 沿半徑為 R 的豎直圓環軌道運動，已知動摩擦因數為 u ，試求小車從軌道最低點運動到最高點過程中，摩擦力做的功。
高中物理競賽典型例題解題方法與思路
上面的解題過程同學們都看完了吧，就這個解題過程而言，其中主要的物理知識就只有兩個，一個是牛頓第二定律的應用，具體通過受力分析找到哪些力提供向心力，另一個就是受力平衡，由於整個過程中，小車都在軌道上做勻速圓周運動，因此在運動過程中，各個位置，在切線方向上是平衡的，這樣就能夠得到受力平衡方程和牛頓第二定律方程，這兩個方程聯立，並結合摩擦力的定義式，就能得到在運動過程中的摩擦力的大小，但是這裡要注意一點兒，題目中小編選取的物體所處的位置在圓形軌道的下部，這樣由受力分析可以發現，支持力與重力的分量的差值提供向心力，而如果物體位置處於圓形軌道的上部，由受力分析不難發現，其受到的支持力和重力的和提供向心力，也就是說，題目中方程二的一項，其符號在運動過程中，是發生變化的。
後面考慮摩擦力的做功過程，這裡摩擦力的作用方向肯定是垂直於半徑方向的，考慮到實際的運動方向，此處摩擦力作用下的運動方向應該是一個小弧長，假設在轉過一個很小角度的過程中，近似的保持勻速直線運動，且受力並不發生變化的情況下，就能夠得到摩擦力在轉過這個小角度的過程中所做的功，也就是方程三種的過程，代入上面的摩擦力的表達式，就很容易得到摩擦力在運動過一個小角度過程中所做的功的表達式，也就是題目中的方程四。
後面就是積分的過程了，這裡上面的一點要多說一下，由於摩擦力的表達式中，有一項的符號與物體所在位置有關，因此其實對於方程四的積分能不能在整個運動過程中積分還是需要考慮的，最好的方式就是分開做，也就是先積分完成小車在下半個圓環上的運動過程中的摩擦力做功，再積分完成上半個圓周運動過程中的摩擦力做功，最後加起來就得到答案了。但這個式子能不能完成整個運動過程中的積分運算呢？其實是可以的，這裡小編給同學們一個小技巧，就是看看這個題目中當角度趨近於零時，你所計算的表達式是不是取得相對應的函數表達式的極限值，如果是與極限值相對應的，就能夠直接積分計算，如果是不對應的，就需要分開求，這就在分開求解的過程中，就不用考慮符號的問題了，很多時候在正弦餘弦函數的積分過程中，有時其實只是面積的計算，不考慮符號，有時是需要考慮符號的，積分結果就有可能是零。