幾何中輔助線添加規律歸納

2021-01-08 吳國平數學教育

幾何最難的地方就是輔助線的添加了，但是對於添加輔助線，還是有規律可循的，給大家整理了一些常見的添加輔助線的方法，掌握了對你一定有幫助！

一、三角形中常見輔助線的添加

1. 與角平分線有關的

（1） 可向兩邊作垂線。

（2）可作平行線，構造等腰三角形

（3）在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形

2. 與線段長度相關的

（1） 截長：證明某兩條線段的和或差等於第三條線段時，經常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明餘下的等於另一條線段即可

（2） 補短：證明某兩條線段的和或差等於第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等於另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長後的線段等於那一條長線段即可

（3）倍長中線：題目中如果出現了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點連結，便可得到全等三角形。

（4）遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。

3. 與等腰等邊三角形相關的

（1）考慮三線合一

（2）旋轉一定的度數，構造全都三角形，等腰一般旋轉頂角的度數，等邊旋轉60 °

二、四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。

1. 和平行四邊形有關的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形。

（1） 利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形

（2）利用兩組對邊平行構造平行四邊形

（3）利用對角線互相平分構造平行四邊形

2. 與矩形有輔助線作法

（1）計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形藉助勾股定理解決問題

（2）證明或探索題，一般連結矩形的對角線藉助對角線相等這一性質解決問題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.

3. 和菱形有關的輔助線的作法

和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，藉助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.

（1）作菱形的高

（2）連結菱形的對角線

4. 與正方形有關輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線。

三、圓中常見輔助線的添加

1. 遇到弦時（解決有關弦的問題時）

常常添加弦心距，或者作垂直於弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。

作用：

① 利用垂徑定理

② 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關係

③ 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量

2. 遇到有直徑時，常常添加（畫）直徑所對的圓周角

作用：利用圓周角的性質得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圓周角時 ，常常連結兩條弦沒有公共點的另一端點

作用：利用圓周角的性質，可得到直徑

4. 遇到弦時，常常連結圓心和弦的兩個端點，構成等腰三角形，還可連結圓周上一點和弦的兩個端點

作用： ①可得等腰三角形

②據圓周角的性質可得相等的圓周角

5. 遇到有切線時，常常添加過切點的半徑（連結圓心和切點）

作用：利用切線的性質定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加連結圓上一點和切點

作用：可構成弦切角，從而利用弦切角定理。

6. 遇到證明某一直線是圓的切線時

（1） 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

（2） 若直線過圓上的某一點，則連結這點和圓心（即作半徑）

作用：只需證OA⊥l，則l為切線

（3） 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線

7. 遇到兩相交切線時（切線長）

常常連結切點和圓心、連結圓心和圓外的一點、連結兩切點

作用：據切線長及其它性質，可得到

① 角、線段的等量關係

② 垂直關係

③ 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的內切圓時

連結內心到各三角形頂點，或過內心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內心的性質，可得

① 內心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線

② 內心到三角形三條邊的距離相等

9. 遇到三角形的外接圓時，連結外心和各頂點

作用：外心到三角形各頂點的距離相等

10. 遇到兩圓外離時（解決有關兩圓的外、內公切線的問題）

常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

作用： ①利用切線的性質； ②利用解直角三角形的有關知識

11. 遇到兩圓相交時 常常作公共弦、兩圓連心線、連結交點和圓心等

作用： ① 利用連心線的性質、解直角三角形有關知識

② 利用圓內接四邊形的性質

③ 利用兩圓公共的圓周的性質

④ 垂徑定理

12．遇到兩圓相切時

常常作連心線、公切線

作用： ① 利用連心線性質

② 切線性質等

13. 遇到三個圓兩兩外切時

常常作每兩個圓的連心線

作用：可利用連心線性質

14. 遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底並在底的同向且有相等「頂角」時。

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