為什麼規定0的階乘為1?

2021-03-01 數學真美妙

階乘(factorial)是基斯頓·卡曼(ChristianKramp，1760～1826)於1808年發明的運算符號。階乘，也是數學裡的一種術語，在中學數學中主要應用於排列和組合的運算。

 

 

    我們知道，階乘的計算方法是1乘以2乘以3乘以4，一直乘到所要求的數。例如所要求的數是6，則階乘式是1×2×3×…×6，得到的積是720，720就是6的階乘。如果所要求的數是n，則階乘式是1×2×3×…×n，設得到的積是x，x就是n的階乘。任何大於1的自然數n的階乘的表示方法是：n！=1×2×3×……×n或n！=n×（n-1）!。

 

那麼，學習階乘的時候，老師告訴我們，零的階乘等於1，即0!=1，這是為什麼呢？為什麼不規定O!=O呢？從一開始，我們學習階乘時就知道零的階乘等於1是一個規定，但是為什麼要這樣規定呢？這個規定合理嗎？

 

要探究零的階乘等於1是否合理這個問題，首先我們需要從階乘的定義出發。從階乘表達式n！=n×（n-1）!中，知道一個數的階乘是遞推定義的。比如要計算一個任意的整數m的階乘，我們就把m作為初值，計算m!=m×（m-1）!。同樣的，當m=l時，m！=1!=1×0!=1，取等式中最後一個等號的兩邊，即1×0!=1，這個等式兩邊同時約去1，就得到如下結果：0!=1。

 

    鑑於以上這種情況，不能規定零的階乘等於零，而要規定0!=1。

 

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