數學中為什麼慢慢把0放為自然數,數數字時也不是從0開始的啊?

2020-12-03 學霸數學

這個問題看起來簡單,其實非常專業.

八九十年代上小學的人們依然還記得,那時候的數學書上,0並不屬於自然數的,自然數是從1開始的.而現在的數學書上,0是屬於自然數的.當然,多數國家的教材把0當作自然數.為了方便國際交流,我國於1993年制定新的標準,將0納為自然數範圍內.實際上,0到底屬不屬於自然數,是存在爭議的.主要有以下兩個理論作為依據:

1.由義大利數學家G 皮亞諾提出來的序數理論,他總結了自然數的性質,並用公理法給出了自然數的定義:自然數集N是指滿足以下條件的集合

N中有一個元素記作1N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的後繼者1是0的後繼者0不是任何元素的後繼者不同元素有不同的後繼者N的任一子集M ,若1屬於M,並且只要X在 M中就能推出X的後繼者也在M中,那麼M=N我們看到他的理論把0排除在自然數之外,其實我們從人類發展的歷史的角度看,0不在自然數範圍內還是比較合理的,人類早期為了計數,從一開始,一個一個的加則有二三四五六等新中國成立以來,國內用的教材都使用的自然數中不包含0;可能80後那一代印像比較深刻.

2基數理論都把0歸為自然數的範疇,因為從集合論的角度,把0作為空集的基數,這樣所有有限集合的基數都可以用自然數來刻畫了

特別的,由於0的引入在小學"整除"部分的教學中,有不太嚴謹的部分,一般採取模糊處理,不引導學生關注這些問題

後面是國內數學教材對對0的一些規定,一般體現的自然數定義、整除、倍數與因數、偶數等方面.0是偶數。(2002年國際數學協會規定,零為偶數.我國2004年也規定零為偶數。偶數可以被2整除,0照樣可以,只不過得數依然是0而已).

0的特殊之處 

0在現代數學中,在數學各個分支中都有重要的體現.0既不是正數,也不是負數;0不能作為除數,不能作為分數,不能作為比的後項;0是最小的完全平方數;0的相反數是0,0的絕對值是0;0沒有倒數和負倒數;0的階乘是1;在複數集中,0是模最小的數,而且是唯一一個無輻角定義的元素;低階無窮小與高階無窮小的比值是0。定積分中,積分上限和下限相等時,積分值始終為0.概率論中,用0表示不可能事件,或者在連續概率分布中位於某一特定自變量這一事件的概率......0的地位可想而知,以至於0到底是不是自然數,引起了無數人的疑問.

0的由來

0的發現被稱為人類偉大的發現之一。0在我國古代叫做金元數字(意即極為珍貴的數字).0這個數據說是由印度人在約公元5世紀時發明,在1202年時,一個商人寫了一本算盤之書,在東方中由於數學是以運算為主(西方當時以幾何並在開頭寫了「印度人的9個數字,加上阿拉伯人發明的0符號便可以寫出所有數字……」。由於一些原因,在初引入0這個符號到西方時,曾經引起西方人的困惑, 因當時西方認為所有數都是正數,而且0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立(如除以0),甚至認為是魔鬼數字,而被禁用。直至約公元15,16世紀0和負數才逐漸給西方人所認同,才使西方數學有快速發展。

0的另一個歷史:0的發現始於印度。公元左右,印度最古老的文獻《吠陀》已有「0」這個符號的應用,當時的0在印度表示無(空)的位置。約在6世紀初,印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家葛拉夫.瑪格蒲達首先說明了0的0是0,任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是,他並沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為,0的概念之所以在印度產生並得以發展,是因為印度佛教中存在著「絕對無」這一哲學思想。公元733年,印度一位天文學家在訪問現伊位克首都巴格達期間,將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人,因為這種方法簡便易行,不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。這套記數法後來又傳入西歐.

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