第一章 向量簡介
向量是整個線性代數裡面最基本的概念，非常重要。在這，它仍是一個有大小有方向的量，只不過擴展到n維空間了。整本書中，列向量形如，行向量形如。好了，閒言少敘，咱們書歸正傳。1.1向量和它的線性組合
首先，在中學我們就知道，二維，三維向量的加減即各分量相加，如下式：以此類推，拓展到n維亦如此，各分量相加即可。而向量的數乘呢，如3v，就把v的各分量均乘3就好了。那麼現在，有m個常數和m個n維向量，令，則u為向量的一個線性組合。若均為任意常數，那麼u表示了的所有線性組合。所以，線性組合其實還是向量相加，改個名字而已。眾所周知，向量可以表示為一個有方向有長度的箭頭，在二維裡，可表示為圖1.1.1類似。令w=u+v，w在圖1.1.1中可以由u,v首尾相連或平行四邊形法則得出。三維乃至更高維與之相同。這樣，兩向量的一個線性組合就是另一個向量。那麼兩向量的所有線性組合代表啥意思呢？顯然，若兩向量共線，那無論咋組合，都式一條直線。若兩向量不共線，其所有的線性組合會填滿一個平面，就是這兩個向量所在的平面。幾何直觀上怎麼填滿呢？看圖1.1.2，w=cu+dv，首先，c,d均大於0，c先不動，光動d，是不是①區域就填滿了？如果c,d都動，①②區域就都填滿了。這樣，兩向量之間夾的區域必定能填滿，再加上c,d可以分別取正或取負，就把整個平面填滿了。以此類推，3個不在同一平面的向量：u,v,w，的線性組合au+bv+cw可以填滿一個三維空間。由於a,b,c可以取a=b=c=0，所以線性組合成的不管是直線平面還是空間，均包含原點。例一：v=(1,1,0)和w=(0,0,1)的線性組合在R3上構成了一個平面，試尋找一個向量u不在這個平面上。∵cv+dw=c(1,1,0)+d(0,0,1)=(c,c+d,d)∴找第二個坐標不是c+d就行了，（1，1，1），（1，5，2）之類都行例二：，找係數c,d，使得cv+dw=b即∴c=2/3,d=1/3
例三：在二維平面中，如圖1.2.3，令u=cw+dv，c,d取何種條件，u在w,v頂點構成的直線上，為什麼？三維中，令U=au+bv+cw，a,b,c，滿足何種條件，U在u,v,w頂點構成的平面上？n維情況又如何？再留一個思考題，一個四維「立方體」有幾個頂點？幾條稜？幾個二維面？幾個三維面？（提示，可以從頂點坐標如（0，0，0，0）去考慮）欲知其數幾何，且看下節分解。
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