我們來到稱為「平面國」的一個地方。我們中有些人是正方形，有些是三角形，有些具有更複雜的外形。我們匆忙進出於我們的平面建築，從事平面公務，荒唐度日。平面國的每一個人只有寬度和長度，卻沒有一點高度。我們只知道前後左右，但若沒有提示，一點兒也不理解什麼是」上和下」——只有平面數學家才知道它。他們說：「聽著，這事真是非常容易。想像一下左右方向，想像一下前後方向。這樣想像不難吧。呃？現在來想像另一種維度，與其他兩邊成直角。」而我們則莫名奇妙，問：「你們在說些什麼呀？『與其他兩邊成直角』，是嗎？可世上只有兩維。要我們指向的那個第三維，可它在哪兒呢？」這些數學家們一聽就洩了氣，沒精打採地走了。誰也不去理睬什麼數學家。
平面國上的每一正方形夥計只看到另一正方形的某條線的一段，即只看到離它最近的那一面。稍微走開點它才能看到正方形的另一面，但正方形的內部卻永遠是個謎，除非某個意外事件或對它進行解剖而打破它的各個面。使其內部狀況暴露出來。
有一天，一個三維生物——假定外形像個蘋果——來到「平面國」』。在其上空盤旋。當它觀察到有個特別引人注目並令人賞心說目的正方形正進人它平面房子的時候，這個蘋果形的生物便拿定主意要向這個正方形致意——用維際間友好的手勢表示問候：「您好！」第三維的訪問者說道：「我是來自第三維的訪問者。 」可憐的正方形環顧了一下它關閉著的房子，什麼也沒看見。更糟糕的是，在它看來，從上方進來的問候聲似乎是從它自身的平面體內發出來的。也許它此刻興致勃勃細地想到：神經有點錯亂正是它這個家族世代相傳的通病。
蘋果的問候竟然被正方形誤認為是其本身的一種心靈失常，這大大激怒了這個蘋果。於是，它降落到「平面國」上來。在「平面國』」上，三維夥計只能部分存在。只有一個截面能被看到，即那些與平地的乎面所接觸的點。一個在平地上蜿蜒滑動的蘋果，首先總是作為一點出現的，然後逐漸變大，成為近乎環形的薄片。正方形看到了在它的二維世界的緊閉房間中出現了一個點，這個點慢慢變大，逐漸成了一個圓形。一個不斷變化形狀的陌生夥計驀地出現了。
由於對這個平展展的愚笨傢伙感到失望和不滿、蘋果便撞了正方形一下，讓它騰空而起，飄飄然旋而進入那個神秘的第三維。起先，正方形對正在發生的一切感到莫名其妙，它從未經歷過這種事情。但它終於意識到自己正從一個獨特的有利角度上觀察平面國，即「居高臨下」。它可以透視關閉的房間，透視它的平面夥伴們。它正從一個獨特而絕妙的視角上觀察著世界。穿過另一維，這一動作的附帶利益是使正方形獲得了一種X射線視覺。最後，我們的正方形像一片落葉一樣慢慢降回到平面上，在它的平面國同胞們看來，這個正方形先是已經莫明其妙地從緊閉的房間中消失，而後又令人費解地驀然顯形了。它們說：「天哪！你到底怎麼啦？」「我覺得」，它不由自主地答道：「我在上面來著。」它們輕輕拍打著它的各個邊，安慰它。幻覺始終是它的家族病
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