原題
原題：直角坐標系xoy中，F1,F2分別為橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦點，點A為橢圓的右頂點，點P為橢圓C上的動點（點P與橢圓C的左右頂點不重合），當△PF1F2為等邊三角形時，S△PF1F2=√3.
⑴求橢圓C的方程；
⑵如圖，M為AP的中點，直線MO交直線x=－4於點D，過點O作OE∥AP交直線x=－4於點E，證明：∠OEF1=∠ODF1.
這道題第一問是比較簡單的，也是解答第二問必備的知識點。
關鍵是第二問該如何解答呢？很多同學可看到這第二問就沒什麼思路，其實第二問只需要將韋達定理結合向量思路是非常清晰的。
第一問的解答
第一問中存在一個知識點：即要想使三角形PF1F2是等邊三角形，則該P點一定在該橢圓與y軸的交點上，上下交點均可。
所以有|F1F2|=|PF2|，在直角三角形POF2中，根據勾股定理|PF2|^2=|PO|^2+|OF2|^2，所以|PF2|^2=b^2+c^2，又因為a^2=b^2+c^2，所以|PF2|=a，又因為|F1F2|=2c，所以a=2c。
將a=2c代入a^2=b^2+c^2中，則有b=√3c。
又因為當△PF1F2為等邊三角形時，S△PF1F2=√3，所以S△PF1F2=1/2·bc=√3，所以bc=2√3。
所以得到c=1，b=√3，a=2。
所以該橢圓的標準方程為x^2/4+y^2/3=1.
第二問的解答
思路：設出直線PA的斜率為k，將直線PA和橢圓聯立得出一個關於k的方程，結合韋達定理得出P、M、E和F坐標——這些坐標都可以用斜率k去表示。
根據各個點的坐標得出向量EO、EF1、DF1、DO的坐標，然後藉助向量的乘法得出直線EO和EF1以及DF1和DO的夾角餘弦值，從而可以比較兩個角的大小關係了。
具體做法：
第一步，求出各點坐標。
因為橢圓方程為x^2/4+y^2/3=1，所以A(2,0)，F1(－1,0)，F2(1,0)。
設P(x1,y1)，則M（(x1+2)/2,y1/2），設直線PA的斜率為k，因為點P與橢圓C的左右頂點不重合，所有k斜率存在且不為0。
則直線PA為y=k(x－2)，將直線PA與橢圓x^2/4+y^2/3=1聯立得到(4k^2+3)x^2－16k^2x+16k^2－12=0,△>0。
所以有x1+2=16k^2/(4k^2+3)，又因為M點在直線PA上，所以M(8k^2/(4k^2+3),－6k^2/(4k^2+3))，所以直線OM的斜率為Kom=－6k^2/(4k^2+3)/8k^2/(4k^2+3)=－3/4k。
所以直線OM表示為y=－3/4k·x，當x=－4時，y=3/k，所以D(－4,3/k)。
因為OE∥AP，所以直線OE的斜率也為k，所以直線OE表示為y=kx，當x=－4時，y=－4k，所以E（－4，－4k）。
第二步，得出相關向量的坐標和乘積。
所以向量EO=(0,0)－(－4，－4k)=(4，4k)，向量EF1=(－1,0)－(－4，－4k)=(3,4k)；向量DO=(0,0)－(－4,3/k)=(4,－3/k)，向量DF1=(－1,0)－(－4,3/k)=(3,－3/k)。
根據兩點間距離公式，則有|EO|·|EF1|=4√(1+k^2)·√(9+16k^2)；有|DO|·|DF1|=√(16+9/k^2)·√(9+9/k^2)=3√(1+k^2)(9+16k^2)/√k^4.
根據向量坐標的乘積，則有向量EO·向量EF1=(4，4k)·(3,4k)=12+16k^2；有向量EO·向量EF1=(4,－3/k)·(3,－3/k)=12+9k^2。
根據向量模的乘積公式，則有向量EO·向量EF1=|EO|·|EF1|·cos∠OEF1和向量DO·向量DF1=|DO|·|DF1|·cos∠ODF1.
所以有cos∠OEF1=向量EO·向量EF1/|EO|·|EF1|；cos∠ODF1=向量DO·向量DF1/|DO|·|DF1|。
所以有
cos∠OEF1=向量EO·向量EF1/|EO|·|EF1|=(12+16k^2)/4√(1+k^2)·√(9+16k^2)=(3+4k^2)/√(1+k^2)·√(9+16k^2)。
cos∠ODF1=向量DO·向量DF1/|DO|·|DF1|=(12+9k^2)/3√(1+k^2)(9+16k^2)/√k^4=(4k^2+3)/√(1+k^2)(9+16k^2)。
所以cos∠OEF1=cos∠ODF1，所以∠OEF1=∠ODF1.
總結
向量能夠簡便題中計算，也易於理解，是計算數學問題的有利工具。
對於任何橢圓的題中，一般都會結合韋達定理，如果再將韋達定理與向量結合就能更好的解決問題。
思路清晰，過程明了，所以在解題過程中注意使用這樣的方法來解答問題。