學習一元二次方程，就必須要提到韋達定理，這個定理的重要性超乎你的想像，和它的諧音一樣，偉大定理。它很形象，很簡便的展示了根和係數的關係。在我們日常解題的過程中，為我們省去大量的時間
一．韋達定理
如果ax^2+bx+c=0(a≠0)的兩根是x1，x2，當△≥0時，則x1+x2=-（b/a）,x1·x2=c/a，1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2
特別地，當一元二次方程的二次項係數為1時，設x1，x2是方程x^2+bx+c=0則x1+x2=-b，x1·x2=c，這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同係數a，b，c的關係，也就是韋達定理。
其實證明的過程也不複雜，利用求根公式也可以證明
用韋達定理判斷方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，一定需要注意的是△的大小。
若b^2-4ac<0 則方程沒有實數根
若b^2-4ac≥0 則方程有兩個實數根
韋達定理的應用其實有很多方面，具體總結有下面幾種：
1．題意中告訴方程的一個根，求另一個根以及確定方程某個參數的值；
2．已知原方程，求關於方程的兩根的代數式的值；
3．已知方程的兩根，求解原方程；
4．根據根的判別式，判斷每個根的符號；
5．還有一部分應用，比如當已知等式具有和一元二次方程相同的結構時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，然後利用韋達定理求．
例1：已知方程3x^2+kx-18=0的一個根式2，求另一個根以及K的值。
分析：按以往的經驗是將x=2帶入方程，求出k，在求解。但是現在可以用韋達定理進行求解。
設方程的兩根為x1，x2，則x1=2，x2是未知數。兩根公式x1·x2=-6，∴x2=-3.x1+x2=-k/3=-1.所以k=3.
例2：設a，b是一元二次方程x^2+3x-7=0的兩個根，求a^2+4a+b的值。
解：根據韋達定理可知，a+b=-3，將a帶入原方程得a^2+3a-7=0,所以a^2+3a=7。a^2+4a+b=a^2+3a+a+b=7-3=4.
例3：設x1，x2是方程x^2-2(k+1)+k^2+2=0的兩個不相等的實數根，且有（x1+1）·（x2+1）=8，求K的值。
解：有韋達定理可知x1+x2=2（k+1），x1·x2=k^2+2。
且△=b^2-4ac=4（k+1）^2-4(k^2+2)=8k-4＞0,得k＞1/2。
將（x1+1）·（x2+1）=8去括號得，k^2+2k-3=0。解關於k的一元二次方程得k=-3或者k=1.又因為k＞1/2，所以k=1.
這個題的關鍵點就是根據△的大小判斷k的取值範圍。