一元二次方程根與係數的關係是九年級數學的重要知識點，也是中考數學的經典題型，本文就例題詳細解析這類題型的經典解題思路，希望能給初三同學的數學學習帶來幫助。
例題1
已知關於x的一元二次方程mx^2-3(m+1)x+2m+3=0。
（1）如果該方程有兩個不相等的實數根，求m的取值範圍；
（2）在（1）的條件下，當該方程的根都是整數，且|x|<4時，求m的整數值。
1、求m的取值範圍
根據根的判別式和題目中的條件：一元二次方程為mx^2-3(m+1)x+2m+3=0，則
△=[3(m+1)]^2-4m*(2m+3)
=m^2+6m+9
=(m+3)^2≥0；
根據題目中的條件、結論：當△>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，則m≠-3；
根據一元二次方程的係數要求：當m≠0時，此方程為一元二次方程；
所以，符合條件的m的取值範圍為m≠-3且m≠0。
2、求m的整數值
根據一元二次方程的求根公式和題目中的條件：方程mx^2-3(m+1)x+2m+3=0，則方程的兩個根分別為x1=[3(m+1)+(m+3)]/2m=2+3/m，x2=[3(m+1)-(m+3)]/2m=1；
根據題目中的條件：m為整數，x1=2+3/m為整數，則m=1、-1、3、-3；
根據結論：m的取值範圍為m≠-3且m≠0，則m=-3不符合條件，捨去；
根據題目中的條件：|x|<4，則當m=1時，x1=5不符合條件，捨去；
所以，符合條件的m的取值為-1或3。
例題2
已知x1，x2是關於x的一元二次方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的兩個根。
（1）若(x1-1)(x2-1)=28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC一邊的長為7，若x1，x2恰好是三角形ABC另外兩邊的長，求這個三角形的周長。
1、求m的值
根據根的判別式和題目中的條件：一元二次方程為x^2-2(m+1)x+m^2+5=0，則△=[2(m+1)]^2-4(m^2+5)=8m-16；
根據題目中的條件、結論：當△≥0時，一元二次方程有兩個實數根，△=8m-16，則8m-16≥0，即m≥2；
根據韋達定理和題目中的條件：方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0，方程的兩個根為x1、x2，則x1+x2=2(m+1)，x1*x2=m^2+5；
把代數式(x1-1)(x2-1)進行變換可得：
(x1-1)(x2-1)
=x1*x2-(x1+x2)+1；
把x1+x2=2(m+1)，x1*x2=m^2+5代入變換後的代數式，可得：
x1*x2-(x1+x2)+1=m^2+5-2(m+1)+1=m^2-2m+4；
根據題目中的條件和結論：(x1-1)(x2-1)=28，(x1-1)(x2-1)=m^2-2m+4，則m^2-2m+4=28，可求得m=6，m=-4；
根據結論：m≥2時方程有兩個根，則m=-4不符合條件，捨去；
所以，符合條件的m的值為6。
2、求三角形的周長
（1）當等腰三角形的底邊為7時
根據題目中的條件：等腰三角形的兩條腰為方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的兩個根，則方程有兩個相等的根；
根據題目中的條件、結論：當△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根，△=8m-16，則8m-16=0，即m=2；
根據結論：m=2，則方程為x^2-6x+9=0，可求得方程的根為x1=x2=3；
根據三角形三邊長的關係：三角形的兩邊之和大於第三邊，等腰三角形的三邊為3，3，7，則3+3<7，不符合條件，捨去；
（2）當等腰三角形的腰為7時
根據題目中的條件：等腰三角形的另一條腰7是方程x^2-2(m+1)x+m^2+5=0的一個根，則49-14(m+1)+m^2+5=0，可求得m=10，m=4；
當m=10時，方程為x^2-22x+105=0，可求得兩個根為x1=7，x2=15；
根據三角形三邊長的關係：三角形的兩邊之和大於第三邊，等腰三角形的三邊為7，7，15，則7+7<15，不符合條件，捨去；
當m=4時，方程為x^2-10x+21=0，可求得兩個根為x1=7，x2=3；
根據三角形三邊長的關係：三角形的兩邊之和大於第三邊，等腰三角形的三邊為7，7，3，則符合條件；
根據周長的計算公式和結論：等腰三角形的三邊為7，7，3，則等腰三角形的周長=7+7+3=17；
所以，符合條件的等腰三角形的周長為17。
結語
一元二次方程根的判別式、根與係數的關係應用相當廣泛，只有根據題意進行合理地代數式變換求解，再結合方程根的情況進行判定推理，才能得到符合題意的結果，牢固掌握並靈活運用這些知識點，為數學中考取得高分加油助力！