一元二次方程根與係數關係

2021-01-11 熊熊數學課堂

第二十二章 一元二次方程

第二講根的判別式與根與係數的關係

知識點複習：1、一元二次方程的一般式是：

2、一元二次方程根的判別式：

3、一元二次方程根與係數的關係：

練習：

一、填空題

1、若關於x的方程有實數解，那麼實數a的取值範圍是_____________．

2、已知關於的一元兩次方程有兩個不相等的根，則的值為．

3、已知m，n是關於x的方程（k＋1）x2-x+1=0的兩個實數根，且滿足k+1=(m+1)(n+1)，則實數k的值是．

4、已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的兩個實根，則(x1－2) (x2－2)=．

5、等腰三角形ABC中，BC=8，AB,AC的長是關於x的方程x2-10x+m=0的兩根，則m的值是________________.

6、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的兩實數根，那麼的值為.

7、以3、4為方程的根做一個一元二次方程

二、選擇題

8、已知是一元二次方程的一個解，則的值是（ ）

A．-3 B．3 C．-2 D、-2或3

9、已知關於x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是

(A) k>且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k>且k≠2 (D)k≥且k≠2

10、已知方程x2－5x＋2＝0的兩個解分別為x1、x2，則2x1－x1x2＋2x2的值為

A．8 B．－12 C．12 D．－8

11、若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的兩根，則x1＋x2的值是【 】

A．－2 B．2 C．3 D．1

12、已知1是關於x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一個根，則m的值是（　　）

A． 1 B． ﹣1 C． 0 D． 無法確定

13、下列一元二次方程兩實數根和為-4的是

A.x2+2x-4=0 B.x2-4x+4=0 C.x2+4x+10=0 D.x2+4x-5=0

14、若關於x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數根，則m的值可以是（ ）

A．0 B．－1 C．2 D．－3

15、關於x的一元二次方程的根的情況是（　　）

A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定

16、 若關於x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有兩個不相等的實數根,則a的取值範圍是

A．a＜2且a≠0 Ｂ．a＞2 Ｃ．a＜2且a≠1 Ｄ．a＜－2

17、若關於的一元二次方程的一個根為1，則的值為（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 0或1

19、若關於x的一元二次方程的兩個實數根分別是,且滿足.則k的值為 ( )

A.－1或 B.－1 C. D.不存在

7、定義：如果一元二次方程滿足，那麼我們稱這個方程為「鳳凰」方程. 已知 是「鳳凰」方程，且有兩個相等的實數根，則下列結論正確的是

A． B． C． D．

三、簡答題

1、已知關於的一元二次方程2--2=0． ……①

(1) 若=-1是方程①的一個根，求的值和方程①的另一根；

(2) 對於任意實數，判斷方程①的根的情況，並說明理由．

2、 已知：關於x的一元二次方程kx2－(4k+1)x+3k+3=0 (k是整數)．

（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2）若方程的兩個實數根分別為x1，x2（其中x1<x2），設y= x2－x1，判斷y是否為變量k的函數？如果是，請寫出函數解析式；若不是，請說明理由.

3、已知關於x的方程。

（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設方程的兩個實數根分別為，，其中，若，求y與m的函數關係式；

（3）在（2）的條件下，請根據函數圖象，直接寫出使不等式成立的的取值範圍。（其中m＞0）

參考答案

一、填空題

1、；

2、-3

3、-2

4、－4

5、16或25

6、 －；

7、A

二、選擇題

8、A

9、C

10、A

11、C

12、考點：一元二次方程的解；一元二次方程的定義。

解答：解：根據題意得：（m﹣1）+1+1=0，

解得：m=﹣1．

故選B．

13、D

14、D

15、A

16、C

17、B

18、A

19、C

三、簡答題

20、⑴證明：Δ= (4k+1)2-4k(3k+3)

=(2k-1)2

∵k是整數，∴k≠，2k-1≠0. ∴Δ= (2k-1)2 >0

∴方程有兩個不相等的實數根.

⑵ y是k的函數；

解方程得，x=.

∴x=3，或x=1+.

∵k是整數， ∴1，1+2<3.

又∵x1< x2, ∴x1=1+, x2=3.

∴ y=3-(1+)=2-.

四、計算題

21、解：（1） =-1是方程①的一個根，所以1+-2=0，

解得=1．

方程為2--2=0， 解得， 1=-1， 2=2．

所以方程的另一根為=2．

（2） =2+8，

因為對於任意實數，2≥0，

所以2+8>0，

所以對於任意的實數，方程①有兩個不相等的實數根．

五、綜合題

22、解：（1）由題意可知,∵，…….……………………..1分

即 …….……………………..1分

∴方程總有兩個不相等的實數根.

（2）由求根公式，得(或用因式分解法解)

．

∴ 或．…….……………………..2分

∵ m＞0，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴

即為所求．

（3）在同一平面直角坐標系中

分別畫出

與的圖象.

由圖象可得，由圖象可得

當時，．

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