傑哥解密數學:突破瓶頸從韋達定理入手

　　法國數學家弗朗索瓦·韋達在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與係數的關係,並提出了此條定理。由於韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係,人們把這個關係稱為韋達定理。韋達定理一直貫穿在整個初中數學知識體系中,它在簡化計算方便是一種很重要的手段,也是我們解題方式中的重要方法之一。

 

　　傑哥解密數學通過對往年中考試卷的分析,總結出「求與兩根有關的代數式的值、已知一根求另一根、一直對稱式值求字母係數值、已知兩根求新方程」這四種用法是韋達定理眾多用法中在中考時較為常出現的考試題型。不僅如此,韋達定理在函數與平面幾何中也有著很廣泛的運用。在傑哥解密數學課堂上,他一直強調同學們重視韋達定理,因為一般的代數式如果先解方程,再把方程的解代入計算,這種解題方式的計算量會很大,並可能出現換算錯誤。但是用韋達定理的一元二次方程根與係數關係求出兩根之和兩根之積,再用整體代換思想求值,即可提高運算速度和正確率,能為同學們在考試中節約不少時間。

　　何為韋達定理?通過以下方程式和經典例題我們可探究一二。

　　設一元二次方程中,兩根X1、X2,定理關係如下:

 

　　由一元二次方程求根公式知:

 

　　則有:

 

　　例:已知二次函數y=-x2+px+q的圖像與x軸交於(α,du0)、(β,0)兩點,且α>1>β,求證:p+q>1.

　　證明:由題意,可知方程-x2+px+q=0的兩根為α、β.由韋達定理得

　　α+β=p,αβ=-q.

　　於是p+q=α+β-αβ,

　　=-(αβ-α-β+1)+1

　　=-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β)

　　在這,傑哥還要提醒下各位同學,在韋達定理的運用中,要注意以下兩點:如果求解兩根之差相關的表達式,最後的結果為構造出來的完全平方式開根號,兩個結果無特殊說明是都要保存的。再有就是根據兩個根相關的表達式,列出關於方程的係數的式子,可能求出來是多個數值,但是一定要結合根的判別式△去判斷是否兩個數字都滿足,不滿足的一定要捨去。