先介紹歐拉函數φ(n)：表示1~n中與n互素的整數的個數。
舉個例子
φ(2)=1(與2互素的數只有1)
φ(5)=4(與5互素的數有1,2,3,4)
φ(8)=4(與8互素的數有1,3,5,7)
φ(10)=4(與10互素的數有1,3,7,9)
φ(13)=12(與13互素的數有1,2,3,⋯,12)
性質1：如果n=p是素數，則φ(p)=p−1
很顯然，與素數p互素的數有1,2,3,4,⋯,p−1
所以，φ(p)=p−1
性質2：
性質3：如果m,n互素，則φ(mn)=φ(m)φ(n)
證明我不會啊，據說要用到中國剩餘定理，who knows，但驗證真的很容易。
或者哪天專門寫一篇證明來玩。（不，我不想）
有了上述的基礎性質，我們就可以有以下的推論。
因此，我們可以計算任意數的歐拉函數值了。再也不需要一個個數數過去了，哈哈。
舉一些例子
φ(10)=φ(5×2)=φ(5)φ(2)=4×1=4
φ(42)=φ(2×3×7)=φ(2)φ(3)φ(7)=1×2×6=12
φ(18)=φ(2×9 )=φ(2)φ(9)=1×6=6
也可以這樣算
(哦！250的歐拉函數是100，有趣吧。想什麼呢，我們討論正經數學)
推論2：若n為奇數，則φ(2n)=φ(n)
證明非常容易。
因為2和n互素，所以φ(2n)=φ(2)φ(n)=φ(n)
注意，不是所有偶數都可以去掉2
例如
φ(2)=φ(1)=1
φ(6)=φ(3)=2
φ(42)=φ(21)=12
但φ(4)≠φ(2)
φ(96)≠φ(48)
推論3：除了1,2，φ(n)是偶數
例子太多了，往前一翻全是偶數。
其實也很好理解
幾乎每一個因子都是偶數啊，它們都是奇數−奇數嘛。之所以說「幾乎」，是因為只有一個例外2−1 是奇數，但滿足這樣的因子的數只有2，被排除了。
歐拉函數的推論都很容易證明，難的是歐拉函數產生的各種猜想。
猜想1：對於素數p，φ(p)=p−1，那麼猜想「如果φ(n)=n−1，n是素數嗎？」
數學佬傾向於是素數，這樣我們就能多出一個判斷素數的手段，比較判斷兩個數互素的計算量要遠小於除法。
不過沒有人能夠證明，迄今為止。（2020年）
對這個猜想進行過嘗試的數學家只能猜：
①如果有反例，這個n應該很大很大吧
目前已經證明，n>5.5×10
②如果有反例，這個n應該有很多因子吧
目前已經證明，至少213個因子
③即使有反例，也應該很少很少吧
我把這個猜想稱為「歐拉函數猜想的大BOSS」
猜想2：歐拉函數能不能取遍所有正偶數？
很容易證明，不能，14就不可能是歐拉函數值
繼續順著這個思路猜：歐拉函數能不能取k！？
即，能不能解方程：φ(n)=k！
已經被證明了，對任意k！，都有解
繼續猜啊猜：對於任意n，是否存在n'，使得φ(n')=φ(n)
即，歐拉函數值會不會總是出現重複？
終於難倒數學家了，沒人會證，既不能證明總會重複，也舉不出不會重複的數，已經驗證到10^10000000000 ，都能重複。
關於素數的東西，我寫累了，不想再寫了，歇一陣子吧。
對於素數和數論，目前我知道的就是，我們幾乎一無所知，比遙遠的星空中一顆恆星的信息還少，到處都是洞，到處都是猜想，不涉及素數的猜想還好，證明也比較容易期待，找反例也看得到希望，一旦涉及素數，幾乎從誕生起就一直作為猜想存在。
希望這個系列能讓你感到好奇，我就心滿意足了。
長按下面的二維碼就可以關注我們哦！我們致力於讓您不討厭的數學