一個辦法是將映射轉90度寫，像這樣
第二排的數字是第一排對應的數字在σ下的像. 這樣還有個好處，σ的逆映射也一下就寫出來了. 兩個映射複合，也挺容易 這裡τσ(1) = τ(2) = 2, 其他計算也類似.τ保持1,2,4不動，只是把3和5換了個順序，而τσ也是保持3和5不動，再這樣表示τ和τσ就有點不划算了.
想想如果n = 100, 一個置換隻是把1和2互換，按照現在這種描述方式，我們還需要傻乎乎的再寫98對一樣的數字!
因此，像上面τ這樣的置換，只是3和5對換，我們就將它記為 上面的τσ將1變為2, 2變為4, 4變為1，其他數字保持不動，我們記為 如果我們用圖形來表達的話就是這樣 一般的，如果i1,⋅⋅⋅,ik, k ⩾ 1是[1,n]中互不相同的k個數字，如果σ ∈ Sn滿足 則稱σ是一個k循環，記為 例如: (1345)將1映為3, 3映為4, 4映為5, 5映為1, 其他數字保持不變. 我們稱兩個循環 不相交如果 {i1,⋅⋅⋅,ik}∩{j1,⋅⋅⋅,jr} = ∅假設σ, τ為Sn中兩個不相交的循環. 則στ = τσ.證明 假設
對於任意i ∈ {i1,⋅⋅⋅,ik}, σ(i)依然還在{i1,⋅⋅⋅,ik}中. 由於 {i1,⋅⋅⋅,ik}∩{j1,⋅⋅⋅,jr} = ∅我們有 因此 從而 類似的，對任意j ∈ {j1,⋅⋅⋅,jr}, 同樣有 對於既不在{i1,⋅⋅⋅,ik}中，也不在{j1,⋅⋅⋅,jr}中的數t, 有 因此 總結起來，我們證明了對於所有[1,n]中的整數i, 都有στ(i) = τσ(i), 因此στ = τσ. 任意Sn中非單位元都可以表達成兩兩不相交長度至少為2的循環的乘積, 且這種表達在不計順序的情況下是唯一的.鑑於公眾號文章的長度不宜過長, 這裡我們不給這個定理的嚴格證明, 只做一個簡單的解釋, 夥伴們可以隨便找一本近世代數的書閱讀下這個定理的證明.
舉個例子.
我們看下σ作用在各個數字上的效果, 可以用圖來表示 即將1映為4, 4映為2, 2映為1; 3映為5, 5映為6, 6映為3; 保持7不動. 這時, 如果你考慮 你會發現它們都與σ是同樣的效果, 也就是說 σ = (124)(356) = (356)(124)大家可以看到, 這兩個循環實際上是由σ作用的效果所決定的.比較下σ的前後兩種表達方式, 我們發現把σ寫成(142)(356)形式有下面兩個優點:
在進一步討論之前, 我們看看相交的循環的乘積是個什麼效果. 先看最簡單的 看下它的作用效果 因此, 其作用效果是將1映為3, 3映為2, 2映為1, 組成一個循環(132). 也就是說 然而「眾生平等」, 數字1, 2, 3不過是「芸芸眾生」中的平凡代表罷了, 因此對於任意3個不同的整數a,b,c ∈ [1,n], 都有 反過來, 也可以說任意一個三循環都可以寫成兩個2循環的乘積. 這個「公式」可以有變種: (ab)(bc) = (ba)(bc) = (bca) = (abc)(ac)(bc) = (ac)(cb) = (acb)那麼4循環, k循環呢? 這個就不要怪我「山寨」了, 考慮k循環(12⋅⋅⋅k), 可以驗證
當然, 你願意把它折成2循環的乘積也是沒有問題的(只要根據這個規律繼續就行) (12⋅⋅⋅k) = (k − 1,k)⋅⋅⋅(2k)(1k)今後, 我們稱一個2循環為對換.
結合定理2, 我們就有
很顯然, 這種表達方式並不是唯一的, 比如
(123) = (12)(23) = (13)(12)