歐拉、歐幾裡得、笛卡爾都沒能解決的數學問題,他探索了新的方案

蕭簫 發自 凹非寺

量子位 報導 | 公眾號 QbitAI

歐拉、歐幾裡得、笛卡爾、尼科馬修斯都沒能解決的千年數學問題，還有破解的可能嗎？

還真有可能。

最近，一位名為佩斯·尼爾森（Pace Nielsen）的數學家開闢了一種新方法，給這個「千年難題」提供了別樣的解決思路。

這個數學問題是奇數完美猜想，事實上，它的定義非常簡單：

是否存在一個奇數，使得它是完美數？

然而，這個「簡單問題」卻在證明過程中變得越來越複雜，甚至成了數學上懸而未解的「疑案」。

有「完美」的奇數嗎？

首先來解決一個概念：「完美數」是什麼？

這個數最早被畢達哥拉斯發現，他給出了完美數的定義：

一個完美數（必須是自然數），如果將它除了自身以外的所有因數相加，等於它自己。

例如，6就是一個完美數。

由於6=1×6=2×3，所以6除了自己以外，它的約數還有1、2、3。

可以看見，這三個約數的和為1+2+3=6，恰好等於6自己。

除了6以外，還有28、496、8128……

根據這些排列出來的數，歐幾裡得設計了一個公式，用來生成完美數。

假設一個質數p，而2 ^ p - 1 （2的p次方-1）也同樣是一個質數，那麼2^(p-1)×(2^p-1)就會是一個質數。

問題被解決了？

沒有。

2000年後，歐拉研究這個問題時發現，歐幾裡得給出的公式，實際上只能生成完美數中的每個偶數。

數學家尼科馬修斯（Nicomachus）下過定論，「完美數只能是偶數」，但沒有證明。

也就是說，沒人知道完美奇數猜想是否正確——到底存不存在這樣的奇數（Odd Perfect Numbers，簡稱OPN），使得它是完美數？

問題吸引了不少數學家研究，OPN的限制條件也開始被提出：不能被105整除；任何OPN都必須大於10的2000次方……

限制條件越來越多，OPN存在的可能性也在被縮小——像漁夫「收網」一樣，越來越多的奇數正在被排除。

根據數學上的定理，如果兩個限制條件互相矛盾，那麼OPN就不可能存在。

然而，隨著限制條件越來越多，條件之間卻沒有一點矛盾的跡象，導致這個猜想一直沒被證明。

對此，數學家約翰·沃伊特表示：證明一種事物的存在非常簡單，但證明它不存在，卻要困難得多。

「收網」行不通，試試找相似

與眾多研究「完美奇數猜想」的數學家一樣，尼爾森一開始也試圖增加OPN的限制條件，以證明它不存在。

但他發現，這樣的證明方法會隨著限制條件的增加變得十分複雜。

為此，尼爾森研究前人的成果，發現了笛卡爾留下的「欺騙數」（spoof number）。

事實上，這是笛卡爾試圖證明「完美奇數」存在的一個失敗案例：他假裝某些數是質數，以此得出了一個假冒版的「完美奇數」。

例如，198585576189是一個巨大的數，而22021是它的一個因數。

笛卡爾在證明過程中，假裝22021是質數，將它和198585576189的其他因數相加，就等於198585576189自己，符合「完美奇數」的定義。

其實，22021等於19×19×61，這個數也因此成為了一個「欺騙數」。

此外，後人還在笛卡爾研究的基礎上，弄了一個「惡搞版」欺騙數——他假設負數也能成為完美數（完美數只能是自然數），證明了 22017975903是所有因數的和。

但如果將這種「欺騙數」用來證明「完美奇數」不存在呢？

尼爾森與研究團隊用了幾年時間，找出了所有的「欺騙數」，並開始研究這些欺騙數的特點。

他提出了自己的觀點：「完美奇數」應該具有「欺騙數」的一切特性，而且還自帶特殊條件。

而如果能證明「欺騙數」不符合「完美奇數」的任何一個限制條件，那麼「完美奇數」就不可能存在。

簡單來說，由於「完美奇數」不能被105整除，那麼如果「欺騙數」都可以被105整除，「完美奇數」就不存在。

雖然團隊還沒有找到這樣的限制條件，但這無異於給「證明不可能」提供了一個更好的思路。

約翰·沃伊特表示，這是個偉大的嘗試。

也有網友表示，這離難題的解決又近了一點。

尼爾森與奇數完美猜想

尼爾森第一次與完美數猜想結緣，是在高中數學競賽上。

被這個問題所吸引，他找來了各種論文研讀，並在大學時期選擇了數學相關的專業學習，希望能為解決奇數完美猜想帶來幫助。

論文顯示，尼爾森曾經在加州大學伯克利分校（UCB）工作，目前在楊百翰大學（BYU），繼續進行奇數猜想相關的研究。

對於數論問題，尼爾森表示自己「正在不斷取得進展」。

「只有不斷到山裡去，才可能最終找到鑽石。」