升力係數的再修正

2021-01-09 布衣的烏託邦

在前面的有關機翼升力公式的探索中,大氣壓強是如何產生的我們都知道了,就是無數不停運動的空氣分子撞擊物體的表面,形成了對物體表面持續的壓力,就產生了大氣壓強。也就是說,雖然表面上看不到空氣的流動,但實際上還是空氣分子的運動產生的壓強,這個壓強是垂直於物體表面的。如果把空氣分子持續的運動看作是空氣流向物體表面,那麼就可以用動壓來計算物體表面所受到的壓強。

P = 1/2 ρυ^2

這就是前面文章我構想的「全動壓計算模型」,它把動壓公式的應用延伸到微觀的空氣分子運動中,把氣體分子平均速率作為空氣流速,再根據飛機飛行速度υ相應地增加或減少,來計算機翼上下表面空氣壓強的。由於空氣分子運動的複雜性和諸多因素存在,把氣體分子平均速率作為空氣流速會有一定偏差,比如緯度45°海平面環境中,

在此條件下空氣分子的運動速度υ0與溫度密切相關,可用氣體分子平均速率c來計算:

υ0 = c = 1.6[(R×T)÷μ]^(0.5) ≈ 459.9m/s

那麼計算出的壓強

P = 1/2ρυ^2 = 1/2 ×1.2257×459.9^2 = 129622.7 Pa

你看,與表中的氣壓值相差較大,可知氣體分子平均速率不能直接用於空氣壓強的計算,要進行修正。如何修正?經過我多日探索鑽研發現,在氣體分子平均速率前加個速度修正係數n就有很好的通用性,那麼氣壓公式就是:

P = 1/2ρ(nυ0)^2

或:P = 1/2 n^2ρυ0^2

經過大量計算比較,發現速度修正係數n的值為0.8841左右, 那麼

P = 1/2ρ(0.8841υ0)^2

或:P = 1/2 · 0.88412ρυ0^2

簡化:P ≈ 0.3908ρυ0^2

如果我們知道相關條件的數據,就可以粗略地計算靜壓P0的大小了。還是在海拔為0米,溫度是15攝氏度,這時空氣分子標準運動速度υ0約為459.9m/s,(幹)空氣的密度ρ約等於1.2257kg/m^3,那麼此時靜態下的標準大氣壓P0為:

P = 1/2n^2ρυ0^2 = 1/2·0.88412·1.2257·459.9^2 =101317pa

這與表中的標準大氣壓101325 pa相差無幾了,可以省略為標準大氣壓1.013×10^5pa。海拔不同,溫度不同,空氣密度不同,大氣壓強就不同,都可以以利用這個公式進行計算。比方說隨便舉個例子,如下面的數據

先計算出空氣分子運動平均速率

υ0 = c = 1.6[(R×T)÷μ]^(0.5) ≈ 426.1m/s

再計算氣壓

P = 1/2 n^2ρυ0^2 = 1/2·0.8841^2·0.6407·426.1^2 = 45469pa

證明這個速度修正係數n的值比較準確,當然,n的值還可取五位小數,六位小數,讓結果更精確。下面我們來看飛機的升力公式的修正,飛機在地面靜止時,機翼上下表面承受大氣壓與周圍氣壓相同,機翼處於平衡狀態(左下圖)。

當機翼在靜止的空氣中以速度υ向左飛行時(右上圖),這時衝擊機翼上表面的空氣分子速度就減小了,是(υ0-υ),衝擊機翼下表面的空氣分子速度就增加了,是(υ0 +υ),那麼此時機翼上下表面的氣壓P就是

P = 1/2 n^2 ρ(υ0±υ)^2

如果機翼有一定迎角,那麼機翼上下表面氣壓P就是

P = 1/2 n^2 ρ(υ0±sinθυ)^2

此時機翼升力公式修正為

F升力 = 1/2 [(4υ0/ sinθυ+1)n^2 cosθsin^2θ]ρSυ^2

同理,阻力公式就為

f阻力 = 1/2 [(4υ0/ sinθυ+1)n^2 sin^3θ]ρSυ^2

以上的升力計算公式都是在理想狀態下推導出來的,實際上有許多因素可能會降低升力的效率,所以實際的升力大小也許比這個公式低一些,不同的翼型可能還要加個誤差係數K進行修正

F升力 = 1/2 [K(4υ0/ sinθυ+1)n^2cosθsin^2θ]ρSυ^2

從這個修正的升力公式中可以看出,飛機升力不僅與空氣密度、機翼迎角、機翼面積和飛行速度有關,還與飛機所在高度的溫度和空氣分子運動平均速率有關。自此,新的升力係數修正為 [K(4υ0/ sinθυ+1)n ^2cosθsin^2θ]。這個升力係數中,誤差係數K可能是一個公式,也可能是一個簡單的數字,如果忽略誤差係數K時,那麼它的取值就為K=1。速度修正係數n的取值要求如果不高時,它就可以取0.8841,如果有更高要求,就要用公式計算保留更多位小數。υ0在不同高度和溫度時是不同的,可用公式c = 1.6[(R×T)÷μ]^(0.5)求出。

從這個修正的升力係數[K(4υ0/ sinθυ+1)n^2cosθsin^2θ]中可以看出,飛機的飛行高度不變時,k和n一般是固定不變的,對升力係數變化影響不大。

迎角變化會影響升力係數大小的變化(左上圖),升力係數先隨迎角的增大而增大,後又隨著迎角的增大而減小。再就是飛行速度的變化會影響升力係數大小的變化(右上圖),升力係數會隨飛行速度的增大而減小。

上面的壓強公式P = 1/2 n^2ρ(υ0±sinθυ)^2不僅在飛機飛行的升力上可用,在其它物理現象中都可用。不論是在有風或物體在運動的情況下可用,在空氣和物體都靜止下也可用。我們只要把此處的空氣密度、分子運動速度、物體表面的角度、風速或物體運動速度等條件測知,就可以計算出物體表面的氣壓大小。

本文中新修正的升力係數[K(4υ0/ sinθυ+1)n^2 cosθsin^2θ]也不是最後的係數,以後還要繼續完善。

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