淺談BSM模型及Delta對衝

對於上周立的Flag，一周運動三次是剛剛好完成了，然而發文的就沒有完成，這裡給自己一巴掌。說到底還是不夠自律。進入正題。

之所以想寫這麼一篇東西，是之前我們部門（一家法國賣方公司）一個新來的女生，我問她我們賣期權，主要是通過什麼方式賺錢呢？她說對賭，客戶賺了我們就虧了，客戶虧了我們就賺了。其實，我們賺的主要是在期權金上面加服務費，比如期權價值3%，我們賣3.5%，如果交易員能夠完美對衝的話，那麼我們就可以保證賺0.5%。但是問題就在於現實世界中是做不到完美對衝的，所以交易部門在期權金上面有時候也會根據他們對市場的看法相應地調整。

1. BSM 模型

先說說BSM模型的由來吧。它是一種為期權等衍生性金融產品定價的數學模型，此模型可能推導出BS公式，並由此公式估算出歐式期權的理論價格。該公式被廣泛使用，雖然經常都會被使用者進行一定的改動與修正。很多經驗測試表明這個公式足夠貼近市場價格，然而也有出現差異的時候，比較著名的」波動率的微笑」。另外有一個假設也有時會影響此公式的有效性，該假設基於價格的變動符合正態分布，然而價格變動有時候會出現統計學厚尾現象。

這就是著名的Black-Scholes-Merton differential equation。接下來我們說說如果推導出這個方程。（有興趣的也可以看看《A Practice Guide To Quantitative Finance Interviews》這本書）首先我們假設股票價格是服從幾何布朗運動，即可以表示為dS=μSdt+σSdW(t)，那麼期權價格可表示為關於股票價格S和時間t的函數。應用Ito's lemma， 我們可以得到，

為了推導出BS equation，我們構造一個投資組合：做多一單位期權的同時，做空x單位的標的股票。我們這裡先假設做空的單位數x是未知數，到後面我們會發現當x剛好等於delta，也就是期權價格對股票價格的一階導時，我們就會發現擴散項(diffusion term) dW(t)剛好可以消掉。當x=delta，我們所構造的這個投資組合價值就等於V - delta * S，應用Ito's lemma，可得，

因為擴散項dW(t)消失了，所以這個投資組合是無風險的。因此，它的回報率應該等於無風險利率，也就是，

整理就可以BSM differential equation.

至於怎麼從上面的方程推導出BS公式，在這裡我就不涉及了。有興趣的朋友可以看看我上面提及到的那本書，裡面有具體的推導。

2. Delta對衝

從上面我們的推導中可以看出，如果我們構造一個投資組合，做多一單位歐式看漲期權同時做空delta單位的股票，假設我們能夠完美對衝，那麼我們的收益率將會等同於無風險收益率。同時我們要注意一點的就是，我們在做模擬delta對衝的時候，是在風險中性的測度下進行的。之前我上過一門課，教授要求我們寫編程作業就是模擬Delta對衝，給了我們一些參數，包括股票價格的增長率以及無風險利率。在模擬股票價格增長的時候，需要用到股票價格的增長率；在計算delta的時候，就需要用到無風險利率而不是股票價格增長率。具體我也忘了，當時好像挺多人用錯了感覺。有興趣的朋友可以參考一下我之前做的作業，我把百度網盤的連結也放上來了。另外之前在一家基金公司實習的時候，所在的部門是做波動率套利的，也做過一點關於delta對衝的學習。在這裡我也不過多涉及，因為說多不多說少也不少。具體可以看下《Which Free Lunch Would You Like Today, Sir?: Delta Hedging, Volatility Arbitrage and Optimal Portfolios》這篇文章，也還算是通俗易懂。主要也就是通過delta對衝，以期realized vol能高過隱含波動率（假設我們是用隱含波動率來對衝的話）從而能獲得正收益（long gamma)。

delta hedging code(python)

連結：

https://pan.baidu.com/s/10rnOnpmIKPTjbLzK--ngEw

提取碼：abcd

複製這段內容後打開百度網盤手機App，操作更方便哦

以上。