隨機波動率微笑模型及套利

　　投資要點：

　　金融市場的波動率

　　金融市場波動率具有尖峰肥尾、波動率群集、具有槓桿效應等特點。

　　本文將簡單地分析金融市場波動率重要的幾個特性，並介紹50ETF相關波動率的度量方法。

　　波動率微笑

　　與BS模型假設不同，隱含波動率ω (t， t + h) 在很大程度上取決於日曆時間t 、到期期限 h 和期權的貨幣性，隱含波動率曲面呈現明顯的微笑或傾斜的特徵。

　　本文將簡單地介紹隱含波動率微笑的基本特性。

　　利用隨機波動率模型進行套利

　　Vanna-Volga模型，SVI模型，SABR模型都可以用來擬合隱含波動率微笑。

　　通過模型刻畫的隱含波動率與通過BS公式反算的隱含波動率進行對比，找到每日最被低估和高估的期權合約，分別買入和賣出。通過合約的持倉數量，形成 delta 中性，從而賺取波動率估值回歸的收益。

　　結果顯示，在看漲期權季月合約上進行波動率套利有不錯效果，三種模型年化收益率都超過20%。

　　風險提示：未來市場變幻莫測，模型有失效的可能。

　　正文

　　1、 波動率的分類

　　在期權世界中，波動率可以簡單的分為歷史波動率、隱含波動率、已實現波動率三大類，分別對應著過去的波動率、隱含在期權價格中的波動率(也被稱之為預期波動率)以及實際的波動率。對於這三種波動率的理解對於期權交易來說是至關重要的，這不僅可以用於期權的定價，還可以用於直接的波動率交易，包含波動率的方向性交易及波動率的套利交易。

　　1.1、 歷史波動率 (HV)

　　歷史波動率是基於過去的統計分析得出的，假定未來是過去的延伸，利用歷史方法估計波動率類似於估計標的資產收益系列的標準差。

　　1.1.1、 標準差

　　標準差是衡量風險的常用標準，是與時間期限相關的概念，例如日標準差、周標準差、月標準差、年標準差等等。在風險評價中，常用的是年標準差。

　　計算方法(以標的證券過去30個交易日的歷史波動率為例)；

　　1。根據計算周期(交易周期；周、月、季度、年均指日曆周期) 在所選時間段內拆分出N個區間(頭尾包含的不完整日曆周期捨去)。

　　2。獲取每個區間最末一個交易日的收盤價和最初一個交易日的前收盤價。

　　3。 如果所選收益率計算方法是「普通收益率」則以「」作為區間內的收益率；如果所選收益率計算方式是「對數收益率」則以「」作為區間內的收益率。

　　4。根據以下公式確定計算結果。

　　GARCH(1， 1) 模型方差如下：

　　EWMA 是 GARCH (1,1) 一個特殊情況，而 GARCH(1,1) 是EWMA的一般形式。

　　當我們取 a = 0 ，(b + c) =1時，上式被簡化為：

　　這與EWMA的表達式相同：

　　1.2、 隱含波動率(IV)

　　隱含波動率(Implied Volatility)是將市場上的期權或權證交易價格代入權證理論價格模型Black-Scholes模型，反推出來的波動率數值。

　　計算隱含波動率可以使用Newton method。

　　1.2.1、 方差互換 (Variance Swap)

　　假設標的價格幾何布朗運動：

　　使用Ito公式：

　　得到方差：

　　其中後一項可以以如下的方式實現複製：

　　得到風險中性條件下波動率的合理價格：

　　1.2.2、中國波指(iVIX)

　　中國波指(000188.SH)，簡稱iVIX指數，是由上海證券交易所發布，用于衡量上證50ETF未來30日的波動預期。該指數是根據方差互換原理，結合50ETF期權的實際運作特點，並通過上海證券交易所交易的50ETF期權價格的計算編制而成。

　　iVIX指數通過反推當前在交易的期權價格中蘊含的隱含波動率，反映出未來30日標的50ETF價格的波動水平。

　　iVIX指數由6月26日第一次公布，起始日為上證50ETF期權上市之日2月9日，上交所向市場實時發布iVIX行情數據，幫助投資者實時分析市場情緒。

　　1.2.3、 IVIX 計算方法

　　先計算近月和遠月波動率

　　以近月合約波動率為例

　　完成近月波動率σ1與次近月波動率σ2的計算之後，採用以下公式計算上證 50 ETF 波動率指數：

　　1.3、 已實現波動率(RV)

　　已實現波動率是針對頻率較高的數據計算的一種波動率，又稱為日內波動率或高頻波動率。高頻數據是指以小時、分鐘或秒為採集頻率的數據。還有一類數據叫超高頻數據，即人們獲得的股票市場、外匯市場、期貨市場實時的每筆成交數據。超高頻數據的時間間隔是不一定相等的，具有時變性，它是交易過程中實時採集的數據，或稱逐筆數據(tick-by-tick data)。Garman & Klass(1980)提出了日內波動率的一種估算方法—Ohlc；Andersen，Bollerslev(1998)提出使用日內高頻股價數據，可以獲得對日波動率更精確的描述，並由此建立了一種基於高頻股價數據的已實現波動率測度方法。由於高頻數據中蘊含了比低頻數據更多的市場波動信息，因此基於高頻數據的波動率測度一定是一種更為真實的市場波動描述。已實現波動率的計算不需要複雜的參數估計方法，無模型、計算簡便，在一定條件下是積分波動率(已實現波動率的概率極限)的無偏估計量，近年來在高頻領域中獲得了廣泛的應用。

　　1.4、 50ETF對應的各種波動率

　　由於二月初的極端行情，VIX指數出現了大幅上漲，並在之後長期處於高位。

　　而HV保持穩定的下降趨勢，RV則是從2月初極端行情過後就保持在低位。

　　1、 波動率的特徵

　　1.1、 尖峰肥尾

　　六十年代早期以來，人們開始注意到資產收益具有尖峰分布的性質，特別是 Mandelbrot(1963)、 Fama(1963， 1965)的發現。

　　其結果是，大量的論文應用肥尾的獨立同分布，如Prantian分布或者Levy 分布，為資產收益建模。

　　2.1、 波動率群集 (clustering)

　　對金融時間序列的任何觀測都表明了高或低波動率時段的聚集。

　　事實上，波動率群集和資產收益肥尾是密切相關的，後者事實上是一個靜態的解釋。

　　而ARCH 模型的主要作用是給出了動態(條件)波動率行為和(無條件)肥尾間的正式聯繫。

　　由Engle(1982)提出，並且此後獲得大量擴展的 ARCH 模型及 SV 模型，主要就是用於模擬波動率群集的。

　　2.2、 槓桿效應

　　被Black(1976)稱為槓桿效應的現象指股票價格運動和波動率呈負相關。

　　因為下跌的股票價格暗示公司財務槓桿提高，人們相信這意味著更多的不確定性及更高的波動率。

　　然而，Black(1976)， Christie(1982)及 Schwert(1989)的實證證據表明，槓桿效應自身作用太小，不足以解釋股票價格中發現的不對稱性。

　　其他報告關於槓桿效應的實證證據的還包括Nelson(1991)，

　　Gallant、 Rossi 和 Tauchen(1992， 1993)， Campbell 和 Kyle(1993)以及 Engle 和 Ng(1993)。

　　2.3、 長記憶性

　　一般來說，波動率是高度持續性的。特別是對於高頻率數據，證據表明條件方差過程具有接近單位根的行為。

　　在ARCH 文獻中，關於股票市場、商品、外匯和其它資產價格序列的 GARCH

　　模型的各種估計，是與IGARCH 設定相一致的。

　　同樣，對隨機波動率模型的估計顯示了相似的持續性模式(參見 Jacquier、 Polson 和 Rossi(1994))。

　　這些發現導致了一場爭論，即條件方差過程持久性的建模是通過單位根還是長期記憶過程。

　　2.4、 協同運動(comovement)

　　有大量的文獻是討論投機市場的跨國協同運動的。

　　資本市場的全球化是否提高了價格的波動率和股票收益的相關性已經成為最近許多研究的主題，包括 von Fustenberg 和 Jean (1989)，

　　Hamao、 Masulis 和 Ng(1990)， King、 Sentatna 和 Wadhwani(1994)， Harvey、 Ruiz 和 Sentana(1992)以及 Lin、 Engle 和 Ito(1994)。

　　人們通常運用因子模型來模擬國際波動率的共同性，比如 Diebold 和 Nerlove(1989)， Harvey、 Ruiz 和 Sentana(1992)， Harvey， Ruiz 和 Shephard (1994)，或者探索所謂的共同特徵，如 Engle 和 Kozicki (1993)，或共同趨勢，如 Bollerslev 和 Engle(1993)。

　　3、 隱含波動率微笑

　　3.1、 波動率微笑

　　如果市場中的期權價格滿足Black-Scholes 公式，則對應於相同資產的各種期權的所有Black-Scholes隱含波動率將和標的資產的波動率參數σ 相一致。

　　但事實並非如此。

　　隱含波動率ω(t，t + h) 在很大程度上取決於日曆時間t、到期期限 h 和期權的貨幣性。

　　原因：

　　1。 標準BS模型假定標的資產價格服從幾何布朗運動。但是大量實證檢驗發現，現實市場中，金融資產的收益率分布呈現尖峰肥尾的特徵。這種分布下，收益率出現極端值的概率遠高於正態分布，而在公式中採用收益率正態分布的前提假設，會大大低估到期時期權價值變為實值與虛值出現的概率，相應也低估了深度實值和深度虛值期權的價格。

　　2.BS模型忽略了現實市場上資產價格在一定衝擊下發生跳躍的可能。例如價格在期權臨近到期前發生跳躍，且交易方根據變化後的價格調整標的資產頭寸並持有到期，到期時複製組合與期權價值將可能出現較大偏差，使得期權一方面臨額外風險。這種風險無法分散化，空方必須要求相應補償，造成期權市場價格對理論價格的溢價。

　　3。 深度虛值期權需求大於供給。深度虛值期權權利金低，獲利概率低，但收益率高，這種特性使得它具有很強的避險功能，適合對抗極端風險。市場對於深度虛值期權有一定的需求，而供給相對不足，虛值期權市場的流動性有限，從而推高了虛值期權的價格。

　　3.2、 隱含波動率微笑隨機模型

　　當 BS 隱含波動率被用來評估具有不同執行價 K 和到期期限 h 的新期權時，這可能在期權定價和保值中產生偏差。

　　一般認為波動率的微笑效應必須由隨機波動率模型來解釋。這有幾個理由：

　　首先，應用隨機時變波動率模型來表示隨機時變BS 隱含波動率是很自然的。

　　其次，微笑下降的幅度是到期期限的函數，實際情況顯示，當到期期限增加時，波動率消除了條件異方差，從而減少微笑現象。

　　最後，偏度本身也可以被歸因于波動率過程的隨機特徵以及該過程與價格過程(所謂的槓桿效應)的整體相關性。事實上，這個效應對股票價格數據是很明顯的，但是對利率和匯率序列卻是很小的，這就是為什麼微笑的偏度在以股票為標的期權時更常見。

　　關於解釋微笑及其偏度的其它論據(跳躍，交易成本，買賣差價，非同步交易，流動性問題， …)在理論上和實證上都應加以考慮。例如，實證證據表明最昂貴的期權(微笑曲線的上部)也是最小流動性的期權；因此偏度或許可歸因於期權市場中流動性的特殊結構形式。

　　3.3、 隱含波動率的期限結構

　　Black-Scholes模型所預測波動率的期限結構是平緩的。

　　事實上，當短期波動率很低的時候，實值期權的隱含波動率的期限結構是向上傾斜的，反之則向下傾斜(Stein(1989))。

　　Taylor 和 Xu (1994)發現外匯期權隱含波動率的期限結構每幾個月都要改變一次斜率方向。

　　Stein(1989)也發現中短期隱含波動率的實際敏感度比預測期限結構得到的估計敏感度要更大一些，並且得出中期隱含波動率對信息具有過度反應的結論。 Diz 和 Finucane(1993)運用不同的估計技術拒絕了過度反應假設，同時報告了反應不足的證據。

　　3.4、 隱含波動率曲面

　　隱含波動率ω(t，t + h) 在很大程度上取決於日曆時間t、到期期限 h 和期權的貨幣性。

　　我們可以通過插值的方法構建波動率曲面，從直觀的角度了解隱含波動率。

　　4、 隱含波動率微笑模型

　　4.1、 Vanna-Volga模型

　　4.1.1、Vanna& Volga的定義

　　Vega衡量標的資產價格波動率變動時，期權價格的變化幅度，是用來衡量標的價格的波動率的變化對期權價值的影響。

　　Vanna表示Vega對標的價格變化的敏感度

　　Volga表示Vega對波動率變化的敏感度

　　4.1.2、 模型簡介

　　Vanna-Volga方法認為，不同行權價格的期權Vega，Vanna，Volga暴露不一，而這三個希臘字母風險正是導致期權價格偏離BS模型價格的原因。

　　通過構建能夠對衝給定期權相對平值期權的Vega，Vanna，Volga變化的期權組合，我們就能通過複製成本確定期權的合理價格。

　　通過以上三個期權組合進行複製。

　　其中X_BS使用ATM波動率由BS模型得到。

　　4.1.3、VV模型套利

　　回測方法：

　　1。 初始資金 ：100萬。

　　2。 期權手續費 ：單邊2.5元/張，賣開免手續費。

　　3。 合約選擇 ：選定的合約

　　4。 策略操作 ：用vanna-volga模型刻畫隱含波動率為微笑，從中選取最被高估和最被低估的合約。

　　買入被低估的合約，賣出被高估的合約，調整合約配比使策略滿足delta中性。

　　5。 淨值結算 ：每日以收盤價結算淨值。

　　4.2、 SABR模型

　　4.2.1、模型簡介

　　SABR模型認為波動率與標的價格相關

　　SABR模型下的期權隱含波動率有近似解：

　　4.2.2、基於SABR模型的隱含波動率微笑

　　4.2.3、SABR模型套利

　　回測方法：

　　1。 初始資金 ：100萬。

　　2。 期權手續費 ：單邊2.5元/張，賣開免手續費。

　　3。 合約選擇 ：選定的合約

　　4。 策略操作 ：用SABR模型刻畫隱含波動率為微笑，從中選取最被高估和最被低估的合約。

　　買入被低估的合約，賣出被高估的合約，調整合約配比使策略滿足delta中性。

　　5。 淨值結算 ：每日以收盤價結算淨值。

　　4.3、 SVI模型

　　4.3.1、模型簡介

　　SVI模型直接對隱含波動率刻畫

　　波動率曲面無套利條件：

　　4.3.2、為什麼用SVI模型？

　　SVI模型可直接用於刻畫期權隱含波動率微笑，模型對不同情況的隱含波動率微笑擬合效果都不錯。

　　同時，我們還需要提到另一個重要的模型，Heston模型。

　　其中：

　　Heston模型是一個經典的隨機波動率模型，它考慮了波動率與標的資產價格回報之間的相關性。

　　相關性參數的刻畫尤為重要，它反映了價格變動的偏度，也很大程度上顯示了價格回報尖峰厚尾的特點。

　　但Heston模型有一個缺點，在於參數估計較為複雜，並且缺乏穩定性。

　　Gatheral(2011)證明，隨著期權到期時間增長，SVI模型收斂到Heston隨機波動率模型。

　　而SVI模型參數估計速度快穩定性高，非常適合用來擬合波動率微笑。

　　這就說明SVI模型理論上和實際應用上都有較高的價值。

　　4.3.2、SVI模型的參數估計方法

　　運用Quasi-explicit方法做兩層參數估計

　　令

　　其中：

　　那麼模型參數估計就變成了對a，d，c的線性參數估計(內層)和對m，的非線性參數估計(外層)。

　　內層通過SLSQP算法求解，外層通過Nelder-Mead算法進行估計。

　　4.3.4、基於SVI模型的隱含波動率微笑

　　4.3.5、SVI模型套利

　　回測方法：

　　1。 初始資金 ：100萬。

　　2。 期權手續費 ：單邊2.5元/張，賣開免手續費。

　　3。 合約選擇 ：選定的合約

　　4。 策略操作 ：用SVI模型刻畫隱含波動率為微笑，從中選取最被高估和最被低估的合約。

　　買入被低估的合約，賣出被高估的合約，調整合約配比使策略滿足delta中性。

　　5。 淨值結算 ：每日以收盤價結算淨值。

　　5、 波動率套利方法總結

　　我們發現，在看漲期權季月合約上進行波動率套利效果最佳。

　　在2015年，所有模型都能獲得不錯收益，而在之後，SABR與SVI模型逐漸失效。vanna-volga方法雖然在2015年表現並不突出，但它能夠2015~2018持續獲利，因此我們認為vanna-volga方法在三種方法中表現最優。

　　值得一提的是，季月合約由於流動性有限，因此實際操作時可能因為衝擊成本過大而導致套利空間進一步壓縮，同時因為可成交量不足從而缺乏實際操作的吸引力。因此本報告的意圖更多的是為讀者一些波動率套利的方法論。

(責任編輯：DF302)