曉查 發自 凹非寺
量子位 報導 | 公眾號 QbitAI
諾貝爾獎沒有數學獎，但是如果數學足夠好的話，可以拿兩次諾貝爾獎：
幫別人拿一次，自己再拿一次。
剛剛獲得諾貝爾獎的英國數學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）就是這樣。
今年，彭羅斯憑藉數學在廣義相對論和黑洞研究中的應用，獲得了諾貝爾物理學獎。
而在幾十年前，彭羅斯的另一項數學發現曾幫助別人獲得過諾貝爾獎。
2011年，以色列科學家丹尼爾·舍特曼（Daniel Shechtman）因為發現準晶體獲得了當年的諾貝爾理綜化學獎。
準晶體於1982年被發現。而準晶體的理論卻和十幾年前一個看似毫不相干的數學概念——彭羅斯地磚——有關。
彭羅斯地磚（Penrose tiling）可不是什麼家裝品牌的名字，是由彭羅斯提出的一種鋪滿平面的方案。
△ 彭羅斯站在彭羅斯地磚上
這種極簡而又不同尋常的地磚蘊含著準晶體原子排列的秘密，打破了人們對晶體認知的局限。
鋪地磚
彭羅斯地磚的設計最早可以追溯到半個世紀前。
看看你腳下的地磚，它是不是簡單而又重複。數學家們卻想把問題搞得複雜一點。
如何設計一款地磚鋪滿平面，這是個看似非常簡單的問題。如果地磚形狀被限制為統一的正多邊形，那麼很容易看出只有正三角形、正方形、正六邊形可以鋪滿平面。
正五邊形，因為它的角是108°，無法湊成360°，所以是沒法鋪滿平面的。
如果地磚的形狀不限制是正多邊形，甚至不限制一種，那麼鋪滿平面的方式就有無數種了。
比如像下面這種由2種菱形鋪滿的情況：
無論是這種平鋪，還是前面用正多邊形平鋪，它們都有一個共同的特點：具有周期性。
所謂周期性，是指把轉換朝著某個方向平移一段距離後，能夠和自身重合。
△ 幾種周期性的平鋪設計
那麼有沒有一種方法是不具有周期性，同時又能鋪滿整個平面呢？
1960年代，美籍華裔邏輯學家王浩研究了這個問題，他給出了一種新的圖形：王氏磚。
王氏磚雖然也是正方形，但是每個邊都被塗上不同顏色，而且王浩規定，只有相同顏色邊才能相鄰。
不過王浩認為存在一種算法，可以算出王氏磚鋪滿平面的方法。換句話說，他認為鋪滿屏幕的方案只能是周期性的。
而他的學生Robert Berger卻證明了，實際上是不存在這種算法的。他指出，在某些情況下，只有圖靈機不停止時，才能將王氏磚鋪滿平面。即存在非周期性平鋪。
用上面的13塊磚，可以實現非周期性平鋪的。從色塊上來看，這種方法雜亂無章。
後來，彭羅斯發現，其實不需要這麼多種磚塊，而且磚塊也不一定是方形。比如用五邊形、五角星、菱形、船型四種圖形組合可以實現非周期性平鋪。（該方法是彭羅斯1974年論文提出的。）
最後，彭羅斯發現，最少只用兩種形狀就可以實現非周期性平鋪：一個「瘦菱形」和一個「胖菱形」。
而這種方法其實和上面五邊形方案是等價的。
至此，非周期性平鋪問題算是告一段落，數學家們把它研究出來，沒想過有什麼實際用途。如果非要說實際用途，那麼算是給地磚設計提供了一種新思路，也算是一種藝術貢獻吧。
直到1982年以色列科學家舍特曼新發現一種「特殊的晶體」。
準晶體
和地磚一樣，晶體也可以看成是不同形狀拼接而成，不過晶體鋪滿的是三維空間。
過去，科學家們認為，晶體也只有像三角形、正方形、六邊形等幾種平鋪方式。我們每天吃的食鹽，它的晶體結構是立方體。
至於五邊形，因為沒有周期性，不符合晶體對稱性的要求，科學家從來沒考慮過晶體能按五邊形排列。
然而，舍特曼發現，用X光照射某些合金（比如鈥鎂鋅合金）的時候，產生的衍射花紋非常奇特，一圈有10個點。說明這種合金的結構裡有五邊形。
如果把這種合金結晶，可以看到晶體形成了12面體，每個面都是五邊形。
科學家們把這種物質叫做「準晶體」，它和彭羅斯地磚一樣，沒有平移對稱性，但是卻有旋轉對稱性，每繞圓周旋轉1/5都能和自身重合。
這可真是顛覆了科學家們的認知。連諾貝爾化學獎獲得者鮑林都不信，對此予以強烈批判：「沒有準晶體，只有偽科學家。」
彭羅斯地磚在這時候派上了大用場。如果原子按照彭羅斯地磚那樣排列，那麼理論計算出的X射線衍射圖樣就和實驗結果一樣。
事實勝於雄辯。隨著技術的發展，科學家們也拍出了準晶體的原子排列圖像，的確能看到五邊形的存在。
最終，舍特曼憑藉此發現獲得了諾貝爾獎。
文化符號
除了幫助舍特曼獲得諾貝爾獎，彭羅斯地磚已經成為了一種代表數學的藝術。
2013年，牛津大學將數學系所在的安德魯·懷爾斯大樓入口改成彭羅斯地磚鋪設。
文章開頭，彭羅斯所在的地方德州農工大學物理與天文研究所也鋪上了類似地磚。此外還有邁阿密大學數學系。
而彭羅斯的影響不僅於此，他設計的「彭羅斯三角」成為了遊戲《紀念碑谷》的重要元素。
彭羅斯用他的方式對科學、藝術乃至我們的生活產生了意外的影響。而彭羅斯能在這麼多領域取得成就，恐怕與他背後那個令人咋舌的家族是分不開的。
相關閱讀：
89歲諾獎得主羅傑·彭羅斯，有一個令人咂舌的家族
參考連結：
https://www.guokr.com/article/69740/
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling
— 完 —
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原標題：《靠數學「拿了」兩次諾貝爾獎，彭羅斯從「鋪地磚」幫忙發現2011年化學獎的秘密》
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