怎麼也沒想到，我們所熟知的素數居然蘊含這麼大的魅力

2020-09-08 數學經緯網

這些不可拆分的素數依然不斷展現出新的數學奧秘。

2018 年 3 月 20 日挪威科學與文學院宣布，將該年度阿貝爾獎授予美籍加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲(Robert Langlands)，以表彰他在數學領域所作出的終身成就。他提出的最終以他名字命名的數學理論「朗蘭茲綱領」(Langlands program)，通過與素數的共同聯繫將幾何學、代數學和分析學等概念結合起來，在數學的眾多分支領域之間架起了「橋梁」。

羅伯特·朗蘭茲，著名的朗蘭茲綱領的提出者。

當時挪威國王將為朗蘭茲頒獎，致敬這項最新的科研成果。素數，可以說是數學領域中最龐大、最古老的數據集，數學家們歷經 2300 年的努力一直在不斷探索它的奧秘。那麼是什麼吸引無數傑出的數學家，數千年來前僕後繼地投身於素數研究中?

尋找素數的歷程

為了研究素數，數學家們將正整數通過素數篩選算法，直至僅剩素數保留下來。在 19 世紀，用試除法來篩選獲得了數百萬以內的素數列表。當然，現代計算機可以在不到一秒鐘的時間內找出數十億以內的素數，但所用篩法的核心思想 2000 年來從未改變。

公元前 300 年，亞歷山大裡亞的數學家歐幾裡得描述到：「素數是只能用 1 來計數的數。」這意味著素數不能被除了 1 以外的任何小於自身的數整除。並且為了保證整數的唯一分解，數學家們並不把 1 看作素數。此外，歐幾裡得還證明了素數的個數是無限的、沒有窮盡。

公元前 200 左右，古希臘數學家埃拉託斯特尼(Eratosthenes)提出了素數的快速篩選法，這是一種簡單且歷史久遠的篩法，用來找出一定範圍內所有的素數。

在 2~100 範圍內進行 2,3,5,7 篩選後留下的所有素數

埃拉託斯特尼素數篩法的思路是這樣的：首先，留下 2 ，把 2 的倍數都劃掉；2 後面第一個沒划去的數是 3 ，留下 3 ，把 3 的倍數都劃掉；然後留下 5 ，把 5 的倍數都劃掉；再留下 7 ，把 7 的倍數都劃掉。如此這般，將最小的四個質數——2，3，5，7——的倍數依次篩掉。此時，下一個未被篩掉 11 的平方已經大於 100，所以停止。這樣在 2 到 100 之間的整數隻執行這 4 次篩選，最終只留下了素數集合。

從 1 ~ 100 之間的數字中篩除 2, 3, 5 和 7 的倍數，留下就是素數 通過 8 次篩選步驟，可以分離出 400 以內的全部素數。通過 168 次篩選，可以分離出 100 萬以內的全部素數。這便是埃氏篩法的強大之處。

為素數制表的早期代表人物是英國數學家約翰·佩爾(John Pell)，他致力於將有用的數字製成表格。其研究動力來源於對古希臘數學家丟番圖(Diophantos) 所提出的古老算術問題的研究熱情，還來自於對數學真理進行系統整合的個人追求。由於他的不懈努力，在 18 世紀早期 10 萬以內的素數得以廣泛傳播。截止 1800 年，各種獨立的研究項目列出了百萬以內的全部素數。

從左至右,為英國數學家約翰·佩爾，德國數學家卡爾·弗裡德裡希·興登堡，奧地利數學家雅各布·菲利普·庫利克

為了將這項繁瑣的篩選工作自動化，德國數學家卡爾·弗裡德裡希·興登堡 (Carl Friedrich Hindenburg)使用一種可調節的滑塊，可以一次性排除整張紙上的所有倍數。另一種技術含量低卻高效的方法是使用模版來定位特定素數的倍數。到19世紀中葉，數學家雅各布·庫利克(Jacob Kulik)開展了一項雄心勃勃的項目：找出 1 億以內的所有素數。但直至庫利克逝世，這些工作還沒有完成，不過已經找出來的素數填滿了 4212 頁表格.

如果不是&34;高斯(Carl Friedrich Gauss)決定對素數自身進行分析整理，19 世紀這樣一套「大數據」的結果可能也僅限於用作素數參考表。

17 世紀，對數表的誕生大大推動了天文、航海的蓬勃發展。一本作為給高斯生日禮物的對數工具書後附錄了一張300萬以內的素數表，這個在旁人看起來無實際用途的表格卻激發了他的強烈興趣。他開始著手進行數據分析統計工作。

他每次以 1000 個數為一組，分別計數這一範圍內素數的個數。先計數 1000 以內素數的個數，接著是 1001 到 2000 之間，然後是 2001 到 3000 之間，以此類推，高斯開始探索這個在旁人看來毫無樂趣的素數列表。

高斯發現，隨著數值增大，素數出現的頻率會逐漸降低，遵循「反對數」定律。雖然高斯的素數分布定理並沒有算出素數數目的精確值，但他給出了一個非常好的近似值。例如，根據素數定理預測在 1000000 到 1001000 之間存在 72 個素數，而正確結果是 75，誤差在 4% 左右。這令他提出一個猜想：

，其中

為不大於 x 的素數個數。也就說當 x 趨近無限時，有下式成立：

而在這個猜想提出一個世紀之後，這個稱之為素數定理(prime number theorem)才得到了證明。

π(x), x/lnx 和 π(x)/(x/lnx) 的比較

隨著素數計數範圍越來越大，估計值與真實值的相對誤差將趨近於 0。懸賞百萬獎金，位列當今數學界七大難題之一的黎曼猜想(Riemann hypothesis)，也描述了高斯定理估算的精確程度。

素數定理和黎曼猜想已經得到了人們的廣泛關注，但它們在早期，都是從枯燥的素數表數據分析開始的。現在，我們獲取數據的方式都來自於電腦程式的運算，不再需要手算篩選，但數學家們仍在尋找素數研究的新模式。除了 2 和 5 之外，所有素數都以 1，3，7 或 9 結尾。19 世紀，人們發現這幾個末位數字在素數中存在相同的出現頻率。換句話說，如果你計數到 100 萬，25%的素數末位為 1，25% 末位為 3，25% 末位為 7，25% 末位為 9。

對素數末位數字的分析

除了 2 和 5 之外，所有素數都以 1，3，7 或 9 結尾。19 世紀，人們發現這幾個末位數字在素數中存在相同的出現頻率。

圖表來自：The Conversation, CC-BY-ND，作者Martin Weissman

幾年前，史丹福大學的數論學家萊姆克·奧利弗(Lemke Oliver) 和坎南·桑德拉賈恩(Kannan Soundararajan)在實驗中觀察素數及其下一個相鄰素數的末位數字規律，意外發現了一個問題。例如，23 之後的素數是 29，它們的末位數字是前 3 後 9。那麼，相鄰兩個素數的末位數字，是前 3 後 9 常見，還是前 3 後 7 常見呢?

100 萬以內的連續素數末位數字對出現的頻率。相同顏色代表末位數字對具有相同的間距值。

數論學家們預計會存在一些差異，但實驗結果遠超預期。將相鄰素數末位數字對按照間距不同進行分組，譬如，23 與 29 間距為 6。結果發現，像 23 和 29 這樣前 3 後 9 的素數對兒的佔比，超過先 7 後 3 的素數對兒佔比，儘管兩種情況中相鄰素數對兒的間距都為 6。雖然數學家們很快給出了一種較為可信的解釋。但是，當涉及到連續素數的研究時，數學家們大部分還局限在分析數據進而尋找合理解釋的階段，距離揭示真相的唯一標準——數學上證明，似乎還需要很長一段路要走。(- End -)

註：本文轉載自公眾號「遇見數學」

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