愚人節期間，我們哆嗒和往年一樣，發了一篇愚人節的整蠱文章《素數公式發現，所有數學之謎即將揭開》，沒想到大家和我們一起玩的很嗨，真是一個歡樂的愚人節。
文章中我們寫出了下面這樣一個公式，並說它是第n個素數p(n)的表達式：
文章還專門解釋了方括號[x]是取整函數，p!表示階乘，並規定0! = 1。
歡樂歸歡樂，因為愚人節的關係很少有人注意到我們貼出的公式本身是不是對的。
在這裡，我們哆嗒數學網的小編負責人的說，如果只從等式兩端是否相等的角度來說，這絕對是如假包換、童叟無欺、「珍珠」都沒這麼真的素數公式。整篇文章，也許就這個公式是靠譜的。
這個公式其實寫進了不少數學科普書，要解釋它也很容易。
說來奇怪，按照一般人的標準課程，我們大多數人對數學中數論知識的學習都集中在小學。到了初中、高中除了一些競賽需求，幾乎不怎麼學習數論了。到了大學，也只有部分專業的同學才學習初等數論。
初等數論中，有很多有趣的知識，和數數差不多，也就是我們解釋這個公式的重點。
公式有兩個「連加號」Σ，也就是我們要解釋的重點。
數素數的π(x)函數
給定一個整數x，我們把不超過x的素數的個數表示為π(x)這個函數。比如不超過6的素數有2、3、5三個，那麼π(6) = 3 。 不超過11的素數有2、3、5、7、11這5個素數，於是π(11) = 5。
這樣，很容易看出，如果是第n個素數p(n)，π(p(n)) = n, 而且x < p(n) 時候π(x) < n(即π(x) ≤ n-1), x ≥ p(n)的時候π(x) ≥ n 。
這個時候π(x) 還只是數數遊戲的，我們需要表示成一種只有加減乘除的東西。
利用威爾遜定理把π(x)函數表示出來
學過初等數論的同學們都知道一個叫做威爾遜定理的命題：
p是素數或1，若且唯若 (p-1)!+1是p的倍數。不止如此，當p是合數的時候(p-1)!還是p的倍數。
有了這個，我們可以分析分母了那個連加號了。
我們先看分母上連加號的內部：
這裡，k=1的時候，上面的式子值是1。
根據威爾遜定理，當k是合數的時候，[(k-1)!/k]是整數，所以方括號可以去掉。上面式子的值其實是[1/k]。對於正整數，值是0。
當k是素數的時候，(k-1)!/k = ((k-1)!+1)/k - 1/k，所以對右邊的方括號做一些簡單變換，可以得到整個式子是值是1。
所以當連加號的k從1跑遍j的時候，實際上是一堆1和一堆0的加總。k是素數或1的時候是1，合數的時候是0。這些1加起來正好是不超過j的素數的個數加上1，即1+π(j) 。
伯特蘭-切比雪夫定理、π(x)和素數公式
我們已經把開頭的式子改寫了成下面的樣子了：
看看連加號內部根號下的部分，
這是一個關於j的遞減的式子，關鍵點在j = p(n) 這一處。當j ≥ p(n)的時候π(j) ≥ n，分子小於了分母，取整後就是零了。
相反，當j < p(n) 的時候π(j) < n就是說π(j) ≤ n-1，這樣分母不會比n大，取整後是一個不小於1但不超過n的整數。
好了，我們都知道n的開n次根號是不小於1且嚴格小於2的。利用這個我們能得到下面的結論：
當j < p(n)的時候整個連加號內部的式子(下圖式子)的值都是1，j ≥ p(n)的時候都是0。
所以當連加號的j從1開始一直的時候，實際上是連續的幾個1相加，然後到p(n)開始都是0相加。正好跑了p(n) - 1個1。
至於為什麼跑到的終點是2的n次方，這是因為
伯特蘭-切比雪夫定理：對所有正整數n，n和2n之間必有素數。
利用這個定理，你能歸納出，第n個素數p(n)不會超過2的n次方。
於是素數公式出爐。
愚人節的文章還給出另外一個公式，其實是換湯不換藥啦。
一點心得
好了，對於這個公式你們想說什麼呢？複雜度太高？因為它裡面有階乘！矯揉造作？這個和一個一個數有什麼區別？
理由也許都對！這些理由或許就是即便看上去把素數寫成了一個「簡單公式」，也對和素數有關問題的解決沒有任何幫助的原因。
但它的確是一個正確的公式，也許可以看成「正確的廢話」素數公式版吧。
不過，讀者中有第一次見這個公式的小夥伴，是不是也感到一些有趣呢——你們可以拿去繼續騙人吶！
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