雖然你做對了一些曲線積分題目，卻仍對兩類曲線積分心存疑惑！
這股疑惑主要源於對兩類曲線積分之間的區別和聯繫認識不深。本文以2004年一道考研真題為例，來詳細闡述兩類曲線積分。
1.真題與其變形題
圖1顯示的是2004年的一道考研真題。
圖1.考研真題對上述考研真題進行一點變形，如圖2所示。
圖2.真題的變形相較於真題，變形題去掉了「正向」兩字，並且將真題中對坐標的微分改成了對弧長的微分。那麼兩道題目的答案是否還是一樣的呢？
1.第一類曲線積分
第一類曲線積分描述的是被積函數在一條無向曲線上的積分。
深入了解一個概念的最好方法是將此概念與現實中的事物聯繫起來，即將抽象的理論與實際聯繫起來。第一類曲線積分的概念源於現實中測量物體的重量。
假設對於一條長度為S的曲線棒L，其上任意一點的線密度均可知。那麼根據微分的思想可以得到整個曲線棒的質量M，如圖3所示。
圖3.第一類曲線積分從圖3中可以看出，第一類曲線積分只與曲線長度有關，而與方向無關。
小編結合圖2中變形的真題來闡述第一類曲線積分的具體求解方法。首先要將曲線積分中的積分上限和下限，以及對應的曲線準確地描述出來，如圖4所示。
圖4.化第一類曲線積分為定積分示意圖根據圖4，可以明顯看出在將第一類曲線積分轉換為定積分過程中，積分上下限和曲線微分各表示什麼含義！但是顯然此時還無法計算出圖4中的定積分。接下來要把弧微分與積分上下限通過一定的方式化成可計算的形式。具體化簡過程見圖5。
圖5.化簡成可計算的定積分過程當然，有時在化簡成可計算定積分時，並不需要將曲線化為參數形式。關於弧微分的計算可參考小編寫的文章《如何計算曲線長度？》。
2.第二類曲線積分
第一類曲線積分只與積分曲線的長度有關，而與曲線的方向無關。
第二類曲線積分不僅與積分曲線的長度有關，也與曲線的方向有關。
不妨考慮變力做功問題。有一個位於光滑水平地面上的物體，該物體受到的影響其水平運動的外力與物體在水平地面上的位置存在如圖6所示的關係。
現在假設物體在變力的作用下，由A位置移動到B位置，如圖7所示。那麼變力所做的總功就是第二類曲線積分的現實意義。
圖7.物體受變力作用後的移動示意圖同樣可以根據微分思想，將物體的移動路徑分割成無數個子路徑，然後考慮變力在各個子路徑上對物體所做的功。限於篇幅，具體推導過程從略。
圖8顯示的是第二類曲線積分的數學形式。
圖8.第二類曲線積分下面結合真題來講解如何求解第二類曲線積分。圖9描述的是真題中的有向積分曲線。
圖9.有向積分曲線示意圖在確定了有向積分曲線後，下一步就是要化為可計算的定積分。具體過程見圖10。
圖10.第二類曲線積分的求解過程簡而言之，第一類曲線積分是對無向曲線的積分，反映在積分上是對弧長的積分；而第二類曲線積分是對有向曲線的積分，反映在積分上是對坐標的積分。