線積分你了解多少?線積分就是求表面下沿特定曲線的面積

2021-01-11 電子通信和數學

線積分的重要性在於其應用，用線積分能計算變力沿空間路徑所作的功，和流體沿曲線和越過邊界流動的速率

我們知道二重積分是計算給定表面下的體積

現在呢我們可以用X,Y沿著某曲線C的路徑來計算其表面的積分，

或者理解為：X,Y表示f(x,y)的寬度，f(x,y)表示為高度，這就表示為表面下的區域沿著特定的路徑的積分，也就是表面下沿曲線C的面積，可以想像下這與一元微積分求面積的有什麼區別？

二重積分的變量都是獨立出來的，但線積分卻被曲線C限制了，正因為如此，兩個變量不再被獨立對待，所以將整個事物簡化為一個變量

而曲線C對應兩個單獨的方程式，而X,Y都取決於新變量T，這就是我們所說的參數方程

對於參數方程的原理如下圖，很容易繪製對應的函數圖形

為什麼參數方程對線積分如此有用呢？因為我們利用參數方程，可以將積分中的dS寫成

這表示沿著曲線C的兩個點之間的無窮小間隔，且增量改為參數t，現在我們知道了這一點，我們的積分是關於t的，所以我們可以將積分表示成

因此給定曲面f(x,y)和曲線C，我們必須採用參數的導數，並將所有的內容都插入到該方程式中

如下這個例子，形象的說明了計算線積分的原理過程，這是沿著曲線C在表面f(x,y)=2x下的面積

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