編者按：我們曾推過林院士的一些文章，如 《找出酵母，由厚變薄|林群院士談數學教材減負的哲學》，《林群院士：我在廈大的老師李文清（附李文清傳）》。實際上，我們還推過林院士對漫天帽子飛亂象的批評（可惜後來刪除了）。現在國家領導人強調科研評價不惟論文。林群院士有個外號叫「微積分爺爺」。他近年來傾盡全身心血普及微積分。感謝林院士授權推出。
讓我們從微積分書堆爬出來，究竟它在幹什麼？多則惑，主題應集中到一點（即主要矛盾），那應是阿基米德開始抓的面積問題，也是當今日常話題，應屬大眾數學，應滲入中小學教材，列入義務教育。
回顧：
長方形面積=長×寬.
弧形地板（下左）面積怎麼算？若用長方條鋪地板（下右）怎麼也蓋不滿∴
弧形面積≠長方條面積之和
微積分破解這道難題，給出精準解法：利用轉換公式,將面積一下轉換到求高（一根高勝過萬根長方條）
油餅的面積 = 另一油條的高（萬物皆數） （1）
(行話：曲線下的面積=另一曲線的高)
這個微積分一個主題（面積）、一個定理（油餅=油條），將用最少概念（如角度）與最短證明（僅2句）. 打的閃電戰、速戰速決，屬極簡主義
秘訣何在：究竟油餅轉到哪油條（或曲線下的面積轉到哪曲線的高）？
先猜後證（數學兩種本領：既會猜測，又會證明——這正我們提倡的教學方式）
1. 大眾數學大眾一起猜
第一步：生活體驗、真情實景：求樹高
發明有偶然，或天時地利：旅遊團參觀一棵老樹，導遊說它年年在長高，有測繪人員來測高。樹高怎麼測呢？砍樹量高？爬樹量高？
光明日報（1997-06-27）人民日報（1997-08-06）科普欄目
我用過三角板，知道構造直角三角形的方法，例如取45度角，便得：高=底，不用砍樹或爬樹（數學的力量：未知變已知，精神變物質）
沒想到，樹下的體驗，竟成了微積分的導火線. 這就是
第二步：由求樹高到微積分（量變）
什麼是微積分？千頭萬緒，不必過問細文末節，只要知道它研究曲邊三角形，就會聯想到將它剖分，使之還原為許多小三角板（陰影部分）或「微分的」直角三角形，讓它們緊貼相應的小曲邊三角形. 畫成像就是
再把這些微分（一個個三角板的高）全部加起來代替曲線全高。當剖分不斷在加密，猜想那些縫在迅速減小（如上右），「微分求和」應變成全高。 這時「求和」（已有確定的值）又說成「積分」（不必糾結於積分的囉嗦定義），於是猜出基本定理：
微分的積分=曲線的全高
（憑畫像來猜，看圖識字，終生難忘）。所以基本定理不過是曲線下的「求高術」託爾斯泰《戰爭與和平》的歷史觀正是依靠微積分基本定理：
「只有採取無限小的觀察單位，歷史的微分，並且運用積分的方法（就是得到這些無限小的總和，或微分的積分），我們才有希望了解歷史的規律。」
有人將我們的求高術引入教材與科普書。
微積分「爬山圖」，簡晰易懂，用看不用想
見張景中《不用極限的微積分》以及《全民科學素質學習大綱》（遊春光、謝滿庭執筆）。
以上「微積分求高圖」，想像為「爬山圖」：當山（或上山的纜繩）非常高，這高難算。單體彎彎曲曲，只能走一段再測一段，然後加起來就是總山高。但即使這樣，每一段的高仍然是未知的——把山體看作一個函數，它的具體形式並不知道。於是採取的辦法就是在當前位置作一條切線，然後以切線代替一小段彎曲的山體，進而計算後者的高。還可以看出一個情況：誤差的出現是因為每一小段上用切線代替曲線。如果小段取得特別小，那麼近似的切線就接近真實曲線。更進一步，從變化的角度看，如果小段越來越小，那麼近似山高就越來越接近真實山高。
HKTV《仁心解碼2》
CCTV1《思想的聲音》
https://v.qq.com/x/page/n05502x1u55.html
《科普中國》
https://v.qq.com/x/page/g0533s7rur5.html
第一步求樹高，第二步由樹高帶出山高（量變），但主題（或重點）是面積。
第三步：由山高帶出面積（質變）
求山高靠微分，既然微分=斜率×小底，兩個數相乘，那麼微分就引出一個小長方形面積=斜率×小底。
這裡斜率就是這個小長方形的高。所以每一個微分引出一個小面積.隨著小三角形不斷增多，微分也就不斷增多，小面積也就不斷增多，把這些小面積都加起來應該得到總面積。
或者直接用第二步的求高術：山高，或微分的積分，就是這些小長方形面積的積分，或斜率曲線下的總面積。
下面將山高曲線（上方）對應於斜率曲線（下方），如同一對「連體嬰」
放大後
所以，下方就是油餅，上方就是油條，油餅的面積=油條，便一目了然。
總結： 以上只用兩個中學公式：斜率=高/底，長方形面積=長×寬，當取：長=斜率，寬=小底，便使：小長方形面積=斜率×小底=微分，所以猜出總面積=億萬個小面積相加=億萬個微分相加=一條全高，即以一頂億。
注：有許多人，一聽「微積分」三個字，就嚇住了……那是因為許多書塞滿了定理與證明，不講道理與發明.以上微積分之旅，由導遊一席話開始，最後又請導遊來講解，只用兩個中學公式，只有說理沒有定理，這應該就是新教學方式的價值所在！
以下細說，針對學過函數 f 與導數（或斜率）f』 的中學生：
曲線 f 的微分=斜率×小高=以斜率為高的小長方形面積
以上兩邊求和：微分相加=小長方形面積相加。
當剖分不斷在加密，左圖那些縫在迅速減小，猜出基本定理的另一解釋：
曲線 f 全高=斜率 f』 曲線下總面積，後者已有一個確定的值，就被表示成積分
或轉換公式（1）：油餅 f』 的面積=油條 f 的高。
總結：斜率圖的面積=山高圖的高（所以求面積用斜率的概念）