想學好三角函數恆等變形,這幾個類型題必會,高考常考,模板在這

01類型題

類型一：已知sin(15°－α/2)=tan210°，則sin(60°+α)的值為？

類型二：已知sin10°－mcos10°=2cos140°，則m=？

類型三：已知sin2α－2=2cos2α，則(sinα)^2+sin2α=?

類型四：已知3π≤θ≤4π，且√[（1+cosθ）/2]+√[（1－cosθ）/2]=√6/2，則θ=？

類型五：如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A(x1，y1)，B（x2，y2）都在單位圓O上，∠xOA=α，且α∈(π/3，π/2)。若∠AOB=π/3，求y=(x1)^2+(y2)^2的取值範圍。

圖一

上述五道題屬於三角函數恆等變換的五大類型題，想學好這一塊，這五個類型題要會，且要掌握其準確的步驟。

投機取巧不適用每一個類題型，這樣的方法做出的題不代表再出現類似的你就一定會。

所以想學好數學，就要學好每一題型的大致的思路和固定準確的步驟。

下面就分別講解這大類型題的做法、步驟和注意事項。

02類型一

類型一是角變換：已知sin(15°－α/2)=tan210°，則sin(60°+α)的值為？

這樣的題型就是將給出的已知角和要求的角進行變換，建立起一定的關係，通過誘導公式和二倍角等直接由已知的三角函數值轉化成要求的三角函數值。

第一步，根據二倍角去掉半角。

因為sin(15°－α/2)=tan210°=tan(180+30)=√3/3，且cos(30－α)=1－2(sin(15°－α/2))^2，則cos(30－α)=1－2/3=1/3.

第二步，根據誘導公式得出sin(60°+α)的值。

sin(60°+α)=sin[90－(30－α)]=cos(30－α)，所有sin(60°+α)=1/3。

常見的角的變換有：

α+β=α－π/3+β+π/3；

α=α+β－β；

β=β+α－α；

α=（α+β）/2+(α－β)/2；

β=（α+β）/2－(α－β)/2等等。

需要注意：這樣的題型不能硬算，需要找到角和角的轉化。

會才來沒有什麼還炫耀的，會方法才是值得高興的。

03類型二

類型二是三角函數的化簡：已知sin10°－mcos10°=2cos140°，則m=？

這道題主要考察的是三角函數的化簡，一般採用的方法就是將大角拆分成特殊角和題中含有的角的形式去化簡。

類型二做法：

第一步，先將m的值表示出來。

因為sin10°－mcos10°=2cos140°，則m=(sin10－2cos140)/cos10.

第二步，將大角根究誘導公式轉化。

根據誘導公式，則有cos140=cos(180－40)=－cos40.

則m=(sin10+2cos40)/cos10。

第三步，將大角轉化成特殊角和10度角。

因為cos40=cos(30+10)，cos(30+10)=cos30cos10－sin30sin10=√3/2cos10－1/2sin10，則cos40=√3/2cos10－1/2sin10。

第四步，得出m的值。

將cos40=√3/2cos10－1/2sin10代入到m的等式之中，則有

m=(sin10－2cos140)/cos10

=(sin10+√3cos10－sin10)/cos10

=√3

一般常見角與特殊角的轉化：

75=60+15，75=45+30，75=90－15，15=30－15，15=60－45，15=45－30.

需要注意：一般給出的三角函數的帶參數的題，要先將參數表示出來，然後再對三角形函數進行化簡。

04類型三

類型三是挖掘隱藏的已知：已知sin2α－2=2cos2α，則(sinα)^2+sin2α=?

這道題的解題關鍵就是將隱藏條件：(sinα)^2+(cosα)^2=1隨時可以運用在解題之中。

類型三的具體做法：

第一步，根據二倍角公式將已知化簡。

因為sin2α－2=2cos2α，則有

2sinαcosα－2=2[2(cosα)^2－1]

2sinαcosα－2=4(cosα)^2－2

2sinαcosα=4(cosα)^2

sinα=2cosα

tanα=2

第二步，將要求的三角函數構建成含有正切的形式。

(sinα)^2+sin2α=[(sinα)^2+sin2α]/[(sinα)^2+(cosα)^2]

將分子分母同時除以(cosα)^2得

原式=[(tanα)^2+2tanα]/[(tanα)^2+1]=(4+4)/(4+1)=8/5.

則(sinα)^2+sin2α=8/5.

(sinα)^2+(cosα)^2=1一般在需要分子和分母同時除以一個時出現，從而使三角函數分子分母在除以一個數時，能完全轉化成正切的形式。

也可以出現在完全平方的形式，例如sin2α+1=2sinαcosα+(sinα)^2+(cosα)^2=(sinα+cosα)^2.

需要注意：給出的已知在簡化後出現正切時，為了使求的三角函數變成只含已知的成分才使用。否則只會再次增加變量，而不是減少變量。

05類型四

類型四是考察角的範圍判斷：已知3π≤θ≤4π，且√[（1+cosθ）/2]+√[（1－cosθ）/2]=√6/2，則θ=？

對於任何的求三角函數的題時，一旦出現開平方或者給出相同的三角函數值時，都需要藉助給出角的範圍來具體的確定角的數值。

類型四具體做法：

第一步，根據半角公式去掉根號。

根據半角公式(cosθ/2)^2=（1+cosθ）/2，（sinθ/2）^2=1－cosθ）/2，則有

√[（1+cosθ）/2]+√[（1－cosθ）/2]

=|cosθ/2|+|sinθ/2|。

第二步，根據角的範圍去掉絕對值。

因為3π≤θ≤4π，則3π/2≤θ/2≤2π.

則θ/2是屬於第四象限的角，則正弦值為負，餘弦值為正，則有

|cosθ/2|+|sinθ/2|=cosθ/2－sinθ/2，即cosθ/2－sinθ/2=√6/2.

第三步，得出θ的值。

cosθ/2－sinθ/2

=√2（√2/2cosθ/2－√2/2sinθ/2）

=√2（cosπ/4cosθ/2－sinπ/4sinθ/2）

=√2cos(θ/2+π/4)

即√2cos(θ/2+π/4)=√6/2，則cos(θ/2+π/4)=√3/2.

需要注意：在化成一個三角函數的時候，化成正弦的形式和化成餘弦的形式所得到的角的範圍不同，一般都是選擇該範圍明確的角所對應的三角函數的形式。

例如，給出的α，β都是銳角，且α和β的正弦值已知，求α+β的值？

這個時候我們一般都會選擇餘弦的形式來求α+β的值。

雖然α，β都是銳角，但是α+β到底是銳角還是鈍角是無法得知的，但是如果用餘弦的形式得出的α+β的值就是唯一的。

因為餘弦為負值，則說明α+β是鈍角，餘弦為正，則說明α+β為銳角。

如果用正弦的形式求α+β的值，無論α+β為銳角還是鈍角得出的結果都是一樣的，所以還是無法確定α+β的值。

06類型五

類型五主要考察三角函數恆等變形的來源：

如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A(x1，y1)，B（x2，y2）都在單位圓O上，∠xOA=α，且α∈(π/3，π/2)。若∠AOB=π/3，求y=(x1)^2+(y2)^2的取值範圍。

圖二

對於三角函數誘導公式以及三角函數恆等變形都是藉助單位圓而來。

所以要想解決這道題就是要將求的坐標的形式化成三角函數的形式求解。

類型五具體的解法：

第一步，將y=(x1)^2+(y2)^2等價轉化。

因為α∈(π/3，π/2)，且∠AOB=π/3，所以直線OB一直在第二現象內部——這個判斷不可少。

則β=π－π/3－α=2π/3－α.

圖三

如圖三所示，cosα=x1/OA，sinβ=y2/OB。

因為圓O是一個單位圓，所以OA=OB=1，則有x1=cosα，y2=sinβ.

所以y=(x1)^2+(y2)^2=（cosα）^2+(sinβ)^2，即y=（cosα）^2+[sin(2π/3－α)]^2。

第二步，將y=（cosα）^2+[sin(2π/3－α)]^2轉化成一個三角函數值求範圍。

y=（cosα）^2+[sin(2π/3－α)]^2

=（cosα）^2+[sin(π/3+α)]^2

降冪次，根據倍角公式，則有

y=(1+cos2α)/2+[1－cos2(α+π/3)]/2

=1/2+1/2cos2α+1/2－1/2cos(2α+2π/3)

=1+1/2cos2α－1/2[cos2αcos2π/3－sin2αsin2π/3]

=1+1/2cos2α－1/2[－1/2cos2α－√3/2sin2α]

=1+1/2cos2α+1/4cos2α+√3/4sin2α

=√3/4sin2α+3/4cos2α+1

=√3/2(1/2sin2α+√3/2cos2α)+1

=√3/2(cosπ/3sin2α+sinπ/3cos2α)+1

=√3/2sin(2α+π/3)+1

第三步，根據α的範圍得出√3/2sin(2α+π/3)+1的範圍。

因為α∈(π/3，π/2)，則2α∈（2π/3，π），則2α+π/3∈(π，4π/3)。

根據正弦函數圖像得出sin(2α+π/3)在區間(π/3，π/2)的範圍：

圖四

如圖四所示，sin(2α+π/3)在區間(π/3，π/2)是單調遞減的，則當2α+π/3趨近4π/3取最小值，當2α+π/3趨近π取最大值，所以sin(2α+π/3)∈（－√3/2,0）.

則√3/2sin(2α+π/3)∈（－3/4，0），則√3/2sin(2α+π/3)+1∈（1/4,1）.

綜上所述，y=(x1)^2+(y2)^2的取值範圍為（1/4,1）。

需要注意：一旦題中給出坐標的形式，求坐標關係的取值範圍時，可以藉助三角函數的範圍取求該值的範圍。

07總結

上述五道類型題雖然不是很難，但是都是屬於三角函數的重要題型。

一般給出高考的三角函數的題型，也都是將上述的題型結合起來得到的較難的題型，實際再難的題型都離不來基礎。

會做題永遠不是最重要的，重要的是規劃類型，再次出現這個類型題時，知識要注意哪些，從哪個方向入手。

題從來都是越做越少，而不是你越做越多。

如果覺得題越做越多，說明你的學習方法出現的問題。

相關文章：

三角函數恆等變形的拓展公式

三角函數的誘導公式快速記憶的方法

積化和差公式大全

20年全國Ⅱ卷理科數學大題難倒一批人，知道這些後，原來這樣簡單

高考數學易出題型：三角函數有極值點且單調，則ω?這類題步驟在這

#高中數學#