|作者：周麗琴1,2 徐遠鋒3 翁紅明1,2,4,† 方 忠1,2
(1 中國科學院物理研究所 北京凝聚態物理國家研究中心)
(2 中國科學院大學)
(3 馬克斯·普朗克微觀結構物理研究所)
(4 松山湖材料實驗室)
本文選自《物理》2020年第12期
摘要 外爾半金屬是拓撲半金屬家族中的一員。理想的外爾半金屬費米面附近有且僅有非簡併價帶和導帶形成的孤立能帶交叉點，其低能激發準粒子可以用描述手性外爾費米子的外爾方程來刻畫。在三維固體中形成外爾半金屬態需要破缺時間反演、中心反演以及它們的組合對稱操作。外爾點(即能帶交叉點)具有拓撲穩定性和確定的手性或磁荷，且左右手性外爾點需成對出現。非磁性外爾半金屬TaAs家族材料的發現，使得研究具有手徵性的電子態，及其導致的新物性、新現象成為可能。與非磁性外爾半金屬相比，磁性外爾半金屬可以僅僅具有一對外爾點，是最簡單的外爾半金屬，有利於物理機理的分析。磁性外爾半金屬可用於實現具有本徵磁性的量子反常霍爾效應，提供了通過外磁場來調控外爾點及其相關效應的新手段。文章介紹了磁性外爾半金屬的理論模型、拓撲數計算等基本原理，簡要回顧了一些典型材料的理論計算和實驗研究進展，並介紹了磁性拓撲量子化學理論和磁性拓撲材料的高通量計算，最後討論了磁性外爾半金屬的發展前景和未來的研究方向。
關鍵詞 磁性外爾半金屬，第一性原理計算，量子反常霍爾效應
近年來，在凝聚態物理學領域中，針對材料拓撲相的研究發展十分迅速[1]。2005年Kane和Mele提出時間反演對稱可以導致拓撲不變量Z2來標識絕緣體的拓撲相[2]，不同於陳數或TKNN數等用來標識破缺時間反演對稱的整數量子霍爾效應或量子反常霍爾效應。對於Z2非平庸的拓撲絕緣體來說，其體態雖然和普通絕緣體一樣有能隙，但在表面上卻存在無能隙的線性色散表面態。該表面電子態在保持時間反演對稱微擾下具有拓撲穩定性，電子的自旋與動量相互鎖定，在開發低能耗、多功能新型電子自旋器件方面具有潛在應用價值。
本文綜述了近年來國內外磁性外爾半金屬的研究進展，包括最近首次被實驗證實的磁性外爾半金屬Co3Sn2S2[22,23,25]，以及磁性拓撲的最新進展——磁性拓撲量子化學的內容和磁性拓撲材料的高通量檢索。最後對磁性拓撲電子體系的未來進行了展望。
我們考慮一個簡立方晶格模型，假設每個格點上都有一對宇稱相反的局域軌道(譬如s、p軌道)。在此軌道基組下，體系哈密頓量H(k)在空間反演操作τz下保持不變，即 H(k)= τz-1H(-k)τz 。該兩帶模型哈密頓量可以寫為[26]
當|γ | < 1時，兩條能帶在(0,0,±k0) (其中 cos k0 = γ )處相交，形成一對手性相反的外爾點；當 |γ| > 1 時，等價於平庸的原子絕緣體；當 γ = 0 時， ki = 0 和 ki = π (i = x, y, z)平面的陳數分別為1和0，也就意味著在 ki = 0 和 ki = π 平面之間存在奇數個外爾點。因此可以看出，從 γ = -1 開始，外爾點在布裡淵區的邊界產生，隨著γ的增大逐漸向布裡淵區中心靠近，當 γ = 1 時兩個手性相反的外爾點湮滅在布裡淵區中心[27]。
圖1 磁性外爾半金屬的基本性質 (a)磁性外爾半金屬沿kz方向的能帶色散；(b)反常霍爾電導(AHC)與化學勢位置的關係(內插圖表示不同的費米面)；(c)三維動量空間中的兩個手性相反(±1)的外爾點沿kz的分布。底部函數圖表示：對於每個固定kz的二維平面，作為kz函數的陳數 Z(kz) 的變化過程[26]；(d)三維布裡淵區中的外爾點和表面費米弧圖[27]
圖1(a)中顯示的是當 γ = 0.5 時沿kz軸的能帶色散。如圖1(b)所示，當化學勢 EF = 0 時，費米面僅由2個點 (0,0,±k0) 構成。當EF增大時，費米面逐漸由兩個點變成兩個包圍外爾點的球形，如果繼續增大化學勢，兩個球形會融合在一起形成一個花生狀的費米面。與此同時，由於導帶的貝裡曲率與價帶的符號相反，反常霍爾電導隨著化學勢的上升而減小。最後，當兩條能帶都被完全佔據時，所有能帶上總的貝裡曲率相互抵消，費米面上的淨陳數為零，這種金屬態就不是外爾半金屬了。因此，外爾點足夠接近化學勢對表現出外爾半金屬的性質是非常重要的。
考慮上述模型中 |γ | < 1的情況，此時在布裡淵區的kz 軸上有一對手性相反的外爾點，如圖1(c)所示。假設有一個垂直於kz 的二維平面，只要該平面不是恰好切過外爾點，那麼面內的能帶都是完全打開能隙的，可以用陳數來定義這個二維電子體系。我們將這個二維平面從 kz = -π 向 kz = π 移動，就可以得到陳數關於kz 的變化[26]。當平面經過外爾點時，陳數應該變化±1(符號取決於外爾點的手性)，這是因為在外爾點處存在拓撲相變，二維平面的帶隙會先閉合再重新打開。如果化學勢位於二維陳絕緣體的能隙內，那麼其邊界上只有手性邊緣態對費米面有貢獻，對於陳數非零的平面，手性邊緣態所貢獻的費米面是孤立的點。因此，在 (kx , kz ) 面或 (ky , kz) 面上，隨著kz 的變化這些點的軌跡就形成了連接兩個外爾點的非閉合的費米弧，如圖1(d)所示。如果在布裡淵區中圍繞外爾點構造一個封閉流形(即由兩個平行平面和四個側邊面組成的長方體)，將貝裡曲率在參數空間(k空間)中的分布看作磁場，由於周期邊界條件，流過四個側面的磁通正好互相抵消。那麼流過封閉流形的總磁通(除以2π)就等於兩個平行平面的陳數之差，也就是流形所包圍的外爾點的手性(即±1)。為了滿足晶格的周期邊界條件，如果存在陳數變化的一次正跳躍(+1)，那麼就會出現與之對應的負跳躍(-1)，因此具有相反手性的外爾點必然會成對出現。這就是三維外爾半金屬與二維陳絕緣體之間的關係，對於某些三維的外爾半金屬材料來說，可以將其構造成一個二維薄膜，將kz 量子化，在某些特定的厚度就有可能出現二維陳絕緣體，實現量子反常霍爾效應。
隨著磁性外爾半金屬的理論機制被提出，很多理論計算和實驗工作開始嘗試預測和尋找相應的磁性晶體材料。2011年，有理論提出，具有非共線全進全出(AIAO)磁序的燒綠石結構體系A2Ir2O7(A=Y或某些稀土元素)可能是外爾半金屬[4]。 以Y2Ir2O7為例，在第一性原理計算中，通過改變Ir原子上電子關聯強度U，可使得該體系在費米能級附近存在外爾點；隨著U逐漸增強，外爾點之間會逐漸靠近並發生湮滅，導致絕緣相。
過渡金屬元素中5d軌道的強自旋軌道耦合、磁結構和電子關聯都對理解燒綠石中的外爾半金屬相至關重要。實驗已經證實了一些燒綠石的磁序為AIAO型[28—31]，但A2Ir2O7(A=Y, Eu, Nd)在低溫下被證明是絕緣體[32—35]。實驗發現，Eu2Ir2O7在加壓下出現了外爾半金屬的臨界相[27,33]。在Nd2Ir2O7中用Rh替代Ir後可以觀察到線性光電導[34]，也有實驗通過替換不同的A離子來研究材料的光電導行為[36]。對於Pr2Ir2O7，在低溫下可以通過某些調控轉變為磁性外爾半金屬相[37,38]。磁性外爾半金屬的體態中存在外爾點意味著在表面或磁疇壁上會存在費米弧，因此磁疇壁是導電的。已有實驗在Nd2Ir2O7的磁疇壁上發現了很高的電導率，表現出外爾半金屬相的特徵[39—41]，但Yamaji和Imada研究組發現，即使在外爾點湮滅形成絕緣體的情況下，磁疇壁上的導電性仍然可能存在[42]。總之，到目前為止還沒有實驗發現燒綠石晶體結構中存在外爾半金屬的直接證據，尤其是缺少能夠觀測能帶結構的角分辨光電子能譜的實驗證據。
2011年，鐵磁尖晶石結構的HgCr2Se4被理論提出可以成為只有一對外爾點的外爾半金屬[5,43]。第一性原理計算表明HgCr2Se4的鐵磁相要比順磁相更穩定。如圖2(a)所示，在不考慮自旋軌道耦合(SOC)時，自旋向上的能帶存在能隙，而自旋向下的能帶在Γ點附近存在交點，這表明系統接近於「零帶隙半金屬」，也意味著在Γ 點附近存在反帶；考慮SOC且磁化方向沿著kz方向，如圖2(d)所示，Γ 點附近的能帶存在A、B兩種類型的交點：A交點在Γ—Z路徑上產生一對位於 kz = ±kzc 的外爾點；B交點在 kz = 0 的平面上產生了一個圍繞Γ 點的閉合環，並被 kz = 0 面上的鏡面對稱保護。如果磁化方向不垂直於該鏡面時，可以消除B交點。
值得注意的是，該材料中的外爾點隨著磁化方向的變化會產生變化。當磁化沿著[001]方向時，只有一對磁荷為2的外爾點，有兩條費米弧與之表面投影相連。當磁化方向沿著[111]方向時，有多對磁荷為1的外爾點。雖然目前該材料中存在外爾點的實驗證據尚不充分，但HgCr2Se4中僅存在一對外爾點的預測引起了一系列關於該材料的磁性和輸運特性的研究[44—47]。
從早期的外爾半金屬理論研究工作開始，人們就提出，可以在磁性原子摻雜的拓撲絕緣體(TI)和普通絕緣體(NI)的薄膜組成的磁性多層結構中實現鐵磁外爾半金屬相[13,20,21]。當三維TI被磁性原子摻雜時，其表面的狄拉克錐由於鐵磁序破壞時間反演對稱性而出現能隙，從而導致量子反常霍爾效應[48—50]。通過將這些TI薄膜與NI薄膜相互疊加，由於層內和層間的隧穿效應，TI薄膜的頂部和底部的表面態發生耦合，導致出現垂直於各層的能帶色散。根據層內和層間隧穿耦合強度的比值，該體系可以表現出三維的磁性TI相和NI相。在這些相之間會出現外爾半金屬態，在外爾點處閉合帶隙[51]。如果摻雜比例適當，那麼磁摻雜三維TI也可以表現出外爾半金屬相[52]。從平均場理論來看，Bi2(SexTe1-x)3 中約10%的Cr摻雜可以將體系從TI相誘導到外爾半金屬相。
最近人們在理論和實驗上發現，層狀材料MnBi2Te4的反鐵磁基態存在拓撲絕緣體相。通過層數和反鐵磁—鐵磁相變調控，實現了軸子絕緣體態和不同陳數量子化反常霍爾效應等。理論上，鐵磁的MnBi2Te4是只有一對外爾點的外爾半金屬。對於同家族材料MnSb2Te4，理論計算表明，需要增大Sb原子的SOC強度超過10%或者沿層間方向壓縮1%才能實現外爾半金屬相[53]，也是只有一對在費米能上的外爾點。
根據第一性原理計算結果，非共線反鐵磁材料Mn3Sn和Mn3Ge是一種外爾半金屬[54]。排列在Kagome晶格層中的Mn原子在面內形成AIAO型的非共線反鐵磁。由於Mn3Sn這類材料的反鐵磁交換耦合和Dzyaloshinskii—Moriya 相互作用的組合破壞了PT對稱性，從而允許能帶中出現外爾點。
當不考慮SOC時，Mn3Sn的低能能帶結構會形成圍繞K點的節點環；考慮SOC後，該節點環演化成K點附近的多對外爾點。在Mn3Sn中磁矩方向可以由一個大約幾百奧斯特的外加磁場來控制。通過在x—y面內旋轉磁場，外爾點的位置可能會在節點環附近移動[55]。第一性原理計算表明，Mn3X (X=Sn, Ge, Ga)中存在很強的反常霍爾效應(AHE)、反常能斯特效應(ANE)、自旋霍爾效應(SHE)和自旋能斯特效應(SNE)[60]，並很快得到了實驗的證實[55—61]。
具有較大的內稟反常霍爾效應是磁性外爾半金屬的特性之一，可以為尋找磁性外爾半金屬材料提供線索。2018年，有兩個研究團隊各自獨立 、同時在具有Kagome子格結構的鐵磁性Co3Sn2S2中發現了很強的反常霍爾效應。通過第一性原理計算，他們分別提出，Co3Sn2S2是一種比較理想的鐵磁外爾半金屬[22,23,25]，其中有三對外爾點，且外爾點能量僅高於費米能級 60 meV。Co3Sn2S2的晶體結構和Co原子構成的Kagome結構分別如圖3(a)和(b)所示。根據第一性原理計算，當不考慮SOC時，自旋向下的能帶打開能隙而自旋向上的能帶在費米能級附近出現交叉形成外爾點，如圖3(c)所示。圖3(d)表示考慮SOC後的能帶結構。Co3Sn2S2具有較高的磁轉變溫度，較強的磁矯頑力，這些都非常有利於角分辨光電子能譜(ARPES)的實驗測量。隨著這種鐵磁外爾半金屬材料的提出，有許多後續工作跟進。
圖3 Co3Sn2S2的晶體結構 (a)和Co原子構成的Kagome層狀子格(b)。藍色和黃色小球分別代表Co原子和S原子，綠色和紅色大球分別代表Sn1和Sn2位置的Sn原子；(c)不考慮SOC的自旋極化的能帶結構；(d)考慮SOC的能帶結構[22]
實驗直接觀測費米弧及外爾點是確定外爾半金屬相存在的必要條件。2019年，牛津大學實驗組通過ARPES譜學測量，在鐵磁Co3Sn2S2中清楚地觀測到了(001)表面的費米弧和體態外爾點[23,62]，如圖4(a)—(d)所示。輸運測量還顯示出高達103 Ω−1cm−1的超大反常霍爾電導和約20%的巨反常霍爾角(反常霍爾電導率與縱向電導率之比)，如圖4(e)，(f)所示，這些是傳統磁性材料無法同時達到的[23]。電輸運測量表明，Co3Sn2S2中存在非飽和的正磁阻效應和較低的載流子濃度，表現出補償型半金屬特徵。在居裡溫度以下，Co3Sn2S2中的反常霍爾電導對溫度和縱向電導均無依賴關係，表明該體系中的反常霍爾效應主要由動量空間中的貝利曲率貢獻。在較寬的溫區內穩定存在的貝利曲率與低載流子濃度半金屬特性使得Co3Sn2S2獲得了巨大的反常霍爾角。同時，還有實驗觀察到了在強磁場下磁阻的 Shubnikov—de Haas 量子振蕩和手性反常(chiral anomaly)所導致的負磁阻現象[23]。表面探針技術，如掃描隧道顯微鏡(STM)，是研究費米弧的另一種方法。Morali等人通過對STM中的準粒子幹涉譜分析，發現Co3Sn2S2的費米弧具有截止面依賴性[63]。以上實驗結果與理論計算的預言完全吻合，共同證明了理論計算的準確性和可靠性，表明Co3Sn2S2是首個可以實現外爾半金屬的反常輸運特性的良好平臺，也為高溫量子反常霍爾效應的實現提供了理想的載體。在該磁性外爾半金屬中，人們還發現了許多與外爾點和貝裡曲率有關的物性和效應，包括大反常能斯特效應、拓撲表面態電催化、中等程度電子關聯、自旋激發能隙溫度依賴等。
圖4 Co3Sn2S2的實驗測量 (a-i)計算得到的費米面(FS)，紫色和綠色點表示手性相反的外爾點，紅色箭頭表示表面費米弧(SFA)，(a-ii)—(a-vi)實驗在不同光子能量下測得的費米面，費米弧均符合(a-i)的計算結果；(b) 點附近的實驗能帶結構的三維強度圖。紅色箭頭表示費米弧和拓撲表面態(TSSs)的分布；(c-i)115 eV光子能量下測量的三維ARPES強度圖，灰色平面表示(c-ii)中色散切割的位置，(c-ii)能帶色散在EF上方呈外爾點的線性色散，與計算結果一致(紅色曲線)；(d-i)摻鉀提高EF後測得的三維ARPES強度圖，可以直接看到綠色箭頭標記的外爾點，(d-ii)在外爾點上能帶呈線性色散，與計算結果吻合(紅色曲線)[62]；(e)零磁場下反常霍爾電導率與溫度的關係；(f)零磁場下反常霍爾電導率、電荷電導率和反常霍爾角與溫度的關係[23]
群表示理論為各種物理和化學問題的研究，包括相變的表徵、分子結構的識別，以及對固體能帶結構中由對稱性保護的拓撲相的分類，提供了理論基礎和研究方法。此前拓撲量子化學理論(TQC)和對稱性指標理論等已經完成了針對於非磁性晶體的空間群表示理論。而在過去的70年裡，由於磁性晶體複雜的對稱性，許多類似順磁空間群的性質，例如動量空間中的磁群的共表示(coreps)和元能帶表示(EBRs)的推導基本上都停滯不前。最近，普林斯頓大學研究組通過導出單磁群(無自旋軌道耦合)和雙磁群(有自旋軌道耦合)的小共表示、相容性關係和磁性元能帶表示(MEBRs)[64]，完成了磁群理論問題。他們利用MEBRs將之前的拓撲量子化學理論擴展到磁性空間群(MSG)中，形成了一套完整的可以描述磁性晶體的磁性拓撲量子化學理論(MTQC)。
滿足時間反演對稱性(TRS)的周期系統(通常指非磁性晶體)由非磁性(II型) 舒布尼科夫(Shubnikov)空間群(SSGs)描述。SSG共有1651種，可分為4類：除II型SSG(有230種，其群表示理論已經相當成熟)描述順磁體系之外，另外3類分別描述磁性體系；其中I型磁性空間群只包含么正的晶體對稱性，III型磁性空間群包含TRS與晶體對稱性(旋轉或鏡面)的組合，以及IV型磁性空間群包含TRS與分數晶格矢量平移操作的組合，如表1所示。
表1 1651個SSG中全套的平庸能帶和對稱性表示的有自旋的穩定拓撲能帶，可以細分到230種II型非磁性SGs和1421種I型、III型和IV型磁性空間群1) [64]
1)星標表示MTQC目前已經解決的有關磁群表示和拓撲信息
普林斯頓大學研究組結合Bilbao晶體伺服器的數據，推導出了1651種SSG的小共表示和MEBRs，並利用這些結論構建了一套完整的平均場近似下的能帶拓撲理論——磁性拓撲量子化學理論(MTQC)。
MTQC從磁性晶格的位置空間的磁性原子軌道(譬如局域的Wannier函數軌道)出發，得到了由原子軌道誘導的動量空間中的能帶共表示(MEBR)，進而從MEBRs的數學結構推導出每個磁群的拓撲信息，例如磁群中的相容性關係、磁性拓撲絕緣體的強拓撲分類以及基於能帶表示的拓撲指標(SI)的計算公式。此外，他們還根據拓撲態的體—邊界對應關係對所有磁群的拓撲指標進行了物理解釋。圖5展示了MTQC的完整流程。對於一組能帶，通過計算它在所有高對稱點上的小群共表示，可以判斷這組能帶是否滿足該空間群所定義的一組相容性關係[65]。如果這組相容性關係不被破壞，這組能帶與其他能帶之間不存在對稱性保護的簡併點(偶然簡併除外)；否則，這組能帶不可避免地與其他能帶發生交叉，並在兩個高對稱點之間形成對稱性保護的簡併點。如果這組能帶與其他能帶在高對稱路徑上沒有任何對稱性保護的交點，那麼這些能帶就可以被進一步分類為強拓撲絕緣體(TI)、脆拓撲絕緣體(Fragile TI)或者平庸的原子絕緣體(LCEBR)。相反，如果這些帶與其他能帶之間存在被對稱性保護的簡併，那麼這組能帶就被分類為半金屬(SM)。
圖5 拓撲能帶論中MTQC計算三維晶體拓撲能帶的完整方案
MTQC的相關內容已在Bilbao晶體伺服器網站上公開，可以廣泛地應用於對磁結構的中子散射研究，對時間反演破缺的超導序的表徵，以及對磁性拓撲相的分類。
普林斯頓大學研究組利用MTQC推導出了晶體(費米子或玻色子體系)的能帶結構中由對稱性決定的所有對稱性拓撲指標(SIs)，並應用於對磁性拓撲材料的高通量檢索[66]。他們基於第一性原理， 對Bilbao磁性材料晶體庫中的549個由中子散射實驗得出的晶體磁結構進行了高通量計算，確定了130種由對稱操作本徵值表徵的磁性半金屬和拓撲絕緣體。對於每種磁性材料，在平均場近似下考慮d或f軌道電子的強關聯效應，得到了能帶拓撲隨關聯強度變化的拓撲相圖。這些拓撲材料中有一部分材料顯示出了以往未知的拓撲相，例如由對稱性指標確定的磁性半金屬、三維量子反常霍爾絕緣體以及高階磁性半金屬等。在這130種拓撲材料中，有60%具有對關聯作用敏感的拓撲，而其他材料在不同的關聯強度下具有穩定的拓撲。通過識別能帶的磁共表示(irreps)，這些材料可分為以下6個不同的拓撲相：
(1)能帶的對稱性表示與原子絕緣體等價的平庸絕緣相；
(2)在費米能級的高對稱點上，存在由對稱性保護的簡併點的ESFD型半金屬；
(3)由相容性關係決定的拓撲半金屬。這類半金屬在布裡淵區高對稱路徑上存在不可避免的能級交叉；
(4)可以由拓撲指標來判定的Smith-index半金屬。這類半金屬在布裡淵區的一般位置(遠離高對稱點/線/面)上存在不可避免的交叉點；
(5)強拓撲絕緣體。強拓撲絕緣相在能帶表示上與任何原子絕緣體的線性組合都不等價，因此強拓撲相在與原子絕緣體耦合時是穩定的；
(6)脆拓撲絕緣體。其能帶表示不對應任何原子絕緣體之和，但是等價於兩種原子絕緣體之差。因此脆拓撲相總是可以與某種原子絕緣體耦合回到原子極限，是不穩定的。
下面選擇了由磁性拓撲量子化學理論預測的幾種在費米能級上能帶結構相對簡單的代表性拓撲材料，包括磁性的拓撲半金屬：磁群為(磁群編號224.113)的反鐵磁拓撲絕緣體NpBi；磁群為CAmca(磁群編號64.480)的反鐵磁強拓撲絕緣體CaFe2As2；磁群為(磁群編號228.139)的反鐵磁ESFD型半金屬NpSe；磁群為PI4/nnc(磁群編號126.386)的反鐵磁拓撲半金屬CeCo2P2；磁群為(磁群編號148.19)的反鐵磁狄拉克半金屬MnGeO3和磁群為I4/mm′m′(磁群編號139.537)的非共線鐵磁拓撲半金屬Mn3ZnC。
這種基於實驗數據高通量計算搜索出的磁性拓撲材料大多數都已經合成過，有利於探索其物理性質以及在不同相類別中的拓撲電子結構。在此計算中沒有發現整個佔據態是脆拓撲的例子。此外，對於不能通過對稱性本徵值來判斷的拓撲絕緣體和拓撲半金屬，該方法將其歸類為平庸能帶表示。這個工作為未來的實驗和理論研究提供了一個磁性拓撲材料資料庫和用來判斷磁性材料拓撲的開原始碼。
目前無論是非磁性還是磁性外爾半金屬都取得了相當大的成功，它們的代表性材料分別是TaAs和Co3Sn2S2。非磁性外爾半金屬一般不需要任何對稱性保護，其外爾點可以出現在動量空間的一般點，因此不能利用拓撲量子化學理論或對稱性指標理論來判斷。雖然基於磁空間群的磁性拓撲半金屬的分類有了新的進展，但是在尋找新的磁性外爾半金屬的過程中，第一性原理計算面臨很大的挑戰。對於鐵磁體以外的複雜磁結構，除非材料的磁結構是實驗已知的，否則從頭計算很難確定出真正的磁結構。在實驗方面，由於磁疇壁的存在，傳統的ARPES測量方法無法有效地研究磁性外爾半金屬的能帶結構。絕大多數實驗報告的磁性外爾半金屬是基於間接證據，如超大的反常霍爾效應和反常能斯特效應等[16]。
當然，磁性外爾半金屬也有其獨特的優勢，例如它們的對稱性和電子結構對磁結構非常敏感，我們可以非常方便地利用外加磁場來操縱它們的拓撲特性和相變，這在自旋電子器件等功能器件的設計中非常有用。因此，我們需要開展更多的研究工作來尋找具有接近費米能級的外爾點的磁性外爾半金屬，也需要更可靠的實驗方法來測量和確定磁性外爾半金屬的外爾點、費米弧等拓撲特性。這將會激發更廣泛、更深入的理論和實驗方面的努力探索[24]，包括反常霍爾效應、反常能斯特效應、手性反常效應、零聲子[67]、非線性光學效應[68]、三維量子霍爾效應[69]、自旋電流[70]和催化[71]等。我們也可以通過加高壓或其他方式來引入磁性外爾半金屬的超導耦合、鐵電耦合、聲子耦合和光子耦合等[72,73]，這將會給我們帶來更多關於外爾半金屬的有趣現象。
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