看前須知:如圖所示,對於某個區間上的弧長,具體計算可參考下面計算過程,這裡要說的是,△x在趨近於0時可以近似的看成直角三角形,但是還是存在一點誤差。
為了消除△x的誤差,我們用微元(數學中的數學名詞),微元很小很小,要多小有多小,此時這個三角形就是直角三角形(為了方便理解上圖和下圖都對弧長畫大了,其實很小),我們知道直角三角形的計算公式,從而得出ds=dx+dy.這裡有人要問△x和dx究竟怎麼看,我個人理解這裡的dx是一個微元更加精確。按照自己理解整吧,實在理解不了記住這裡構造的是微元dx,不影響你做題。
1.當y=f(x)是普通函數時,其中a≤x≤b,如圖所示:計算過程,主要是提取dx,當然圖中的只是很小很小的一段弧長,要算[a,b]上的弧長積分就行。 ∫[a,b] f(x) dx= ∫[a,b]ds,下面的兩個也一樣,就不再寫了。
2.當y=f(x)是參數方程時,和上面的思路相同,可以自己嘗試一下推到計算過程
3.當y=f(x)是極坐標方程時,r = r(θ),其中 α≤θ≤β。計算看圖
總結:不管圖形怎麼變,始終記住一個原則,抓住這個公式ds=dx+dy,根據這個公式來推導,不用死記公式