128.質數的生成

2021-01-08 生物谷

128.質數的生成

  在證明某數是否為質數時,最基本的問題就是:確定某數是否為質數的唯一方法,就是找出其因數.長久以來,人們一直想找出表示質數的「公式」,但都徒勞無功.下面介紹一些前人努力的結果.

  (1)考慮下列的質數序列及其差分:

  

  只要繼續生成質數,此序列就能持續下去.

  差分的形式顯示出此序列可以下列二次式導出:

  n2+n+11

  (2)以不同的n代入,求下列二次式的值:

  n2+n+41

  並檢驗得出的值是質數還是合數(除1與其本身之外還有其他因數).

  這是一個相當了不起的公式,因為從1至80,除了7個數之外,其他由它所生成的數都是質數.請問使n2+n+41不為質數的第一個n值是多少?

  (3)更好的公式為:

  n2-79n+1601

  因為它對於所有小於或等於80的整數都能生成質數.

  (4)使下式不為質數的最小n值是多少?

  2n2+29

  (5)1640年,數學家費瑪(Fermat)以為自己發現了可以生成質數的公式:

  22n+1

  試求當n=0,1,2,3,4時,由此公式所得出的數.有些數為質數.

  之後經過了一百多年,才由數學家歐拉證明:225+1有兩個因數:641與6700417.

(答案見231頁)

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