作為最存粹的數學分支，數論的研究和發展實在是艱辛。作為純數學思維的產物，數論的研究幾乎是沒有什麼現實的經濟效益的，在這個追求有用無用論的時代，數論可以說真的是「格格不入」。
可是數論作為數學領域高大上的代名詞，從某個方面來講卻是一門經驗科學甚至是一門實驗科學。數論中的大部分問題都不是在遇到實際問題時產生的，大多都是人為的構思出來的。在數論領域，雖然已有很大一部分的定理已經被「數學性」證明了，但是還有一些卻仍舊停在「經驗階段」，這些問題至今依舊挑戰著地球上最優秀數學家們的大腦。
超級數學家為什麼質數的數量是無限的？
在數論領域，最難的莫過於「質數問題」了，所謂質數又叫素數，若一個大於1的自然數，它只能被1和它本身整除，那麼它就是一個質數。在這個領域最著名的就是哥德巴赫猜想了。而今天，我們就來討論簡單一點的質數問題，質數的個數為什麼是無限的？
這裡我們無法直接證明，只能利用反證法，假設質數的數量不是無限的，然後得出矛盾，反證出質數的數量是無限的。方法如下：
假設質數的數量是有限的，且最大的質數為N
那我們可以構造一個數M，M是所有已知質數的乘積
則：M=(1*2*3*5*7*…*N)+1
顯然：M>>n，M不可以被我們已知的任何質數整除，包括最大的質數N
所以對於我們構造的這個數M只有兩種可能：
M本身是一個質數或M有一個比質數N還要大的因數
這兩種假設都與我們原本的假設「存在最大的實數N」相矛盾
所以：質數的數量是無限的
在得到這個結論之後，這裡就有了一個問題，是否可以通過一種簡便的方法將所有的質數全部表示出來呢？
尋找質數的通項公式
最早的方法由古希臘數學家埃拉託斯特尼提出，因此也叫「埃拉託斯特尼篩法」。這個方法很簡單，但是步驟卻很複雜，我們只需要寫出完整的整數數列：1,2,3，……，n-1，n。然後我們就開始刪，先刪掉2的倍數，再刪掉3的倍數，再刪掉5的倍數，以此類推，刪掉所有已經篩出的質數的倍數。當篩選的次數足夠多的，質數就全部出來了。利用這個篩法對1到100進行篩選，一共可以得到26個質數。現代計算機已經利用篩法，找到了10億以內的所有質數。
很顯然，上述的篩法是沒有通項公式的，那我麼能夠提取出一個通項公式代表所有的質數嗎？負責的告訴大家，這個問題經過了無數數學家幾千年的努力，依舊沒有結果，但是很多數學家卻疑似找到過所謂的質數通項公式，雖然這些公正最後都被證偽了。
第一位有尋找成果的就是費馬，1640年，費馬自認為找到了一個只能夠計算出質數的公式。他認為2^(2^n)+1（2的2的n次方次冪加1），利用這個公式我們經過計算發現：
2^(2^1)+1=5
2^(2^2)+1=17
2^(2^3)+1=257
2^(2^4)+1=65537
這麼一驗算，前四項計算出的確實是質數，可是自這個公式發明100年後，德國數學家歐拉卻發現這個公式的第五項：2^(2^5)+1=4294967297不是一個質數，歐拉發現這個數是6700417和641的乘積。由此，費馬的質數計算公式宣布失敗。
費馬除了這個公式以外，還有一個能夠計算出很對質數的公式：n^2-n+41，經過驗證，當n的取值不大於40的時候，得到的數確實都是質數，但是當n為41的時候，得到的數為41^2，是一個完全平方數，所以這個公式也失敗了。
除了n^2-n+41這個公式外，還有一個公式：n^2-79n+1601，很不幸的是，當n取小於80的值得時候，計算出的值確實也是質數，但是當n為80時，這個公式也失敗了。
歐拉因此，找到一個只能夠計算質數的公式至今依舊未能解決，找到能表示所有質數的通項公式也許更加不可能被解決吧。
2000多年來，人類一群最聰明的大腦為了解決關於質數的問題可謂耗盡了所有的精力，雖然如今已經取得了一些較小的突破，但是還有更多的困難等待著我們去解決。