兩千多年了,數學家為何仍痴迷於質數研究?

2021-01-16 環球科學

撰文 | Martin H. Weissman

翻譯 | 佐佑

來源 | 原理（ID：principle1687）


3月20日，數學界的最高榮譽之一——阿貝爾獎頒發給了數學家羅伯特·朗蘭茲，以表彰他對數學作出的終生成就。朗蘭茲提出的綱領探討了數論和調和分析之間的深層聯繫，這種聯繫被數學家用來解答與質數性質相關的問題。


2300多年以來，數學家一直都在試圖更好的理解質數。可以說，相關的研究構成了數學史上最大最古老的數據集。我們不免好奇，質數如何能讓數學家為之著迷上千年？



如何尋找質數？


為了研究質數，數學家將整數一個個通過他們的虛擬網格，將質數「篩選」出來。這種篩分過程在19世紀就產生了含有數百萬個質數的表格。現代計算機可以用這種方法在不到一秒的時間內找到數十億個質數。但篩分的核心思想卻在2000多年間從沒改變過。


數學家歐幾裡德（Euclid）在公元前300年寫道：「只能為一個單位量測盡的數是質數。」 這意味著質數不能被除了1之外的任何數字整除。根據慣例，數學家不將1計為質數。


歐幾裡德證明了質數的無限性，但歷史表明是埃拉託色尼（Eratosthenes）為我們提供了快速列出質數的篩分方法。


篩分的想法是這樣的：首先依次過濾出2、3、5、7這四個質數的倍數。如果對2到100之間的所有數字執行這一操作，很快就會只剩下質數。


○ 在1到100之間篩分2、3、5、7的倍數，結果只會餘下質數。| 圖片來源：M.H. Weissman


通過8個過濾步驟，就可以分離出400以內的全部質數。通過168個過濾步驟，可以分離出100萬以內的所有質數。這就是埃拉託色尼篩法的力量。



表格×表格


為質數制表的早期人物代表是 John Pell，一位致力於創建有用數字的表格的英國數學家。他的動力來源於想要解決古老的丟番圖算術問題，同時也有著整理數學真理的個人追求。在他的努力之下，10萬以內的質數得以在18世紀早期廣泛傳播。到了1800年，各種獨立項目已列出了100萬以內的質數。


為了自動化冗長乏味的篩分步驟，德國數學家 Carl Friedrich Hindenburg 用可調節的滑動條在整頁表格上一次排除所有倍數。另一種技術含量低但非常有效的方法是用漏字板來查找倍數的位置。到了19世紀中葉，數學家 Jakob Kulik 開始了一項雄心勃勃的計劃，他要找出1億以內的所有質數。


○ Kulik 用來篩分3、7倍數的漏字板。| 圖片來源：AÖAW, Nachlass Kulik ／Denis Roegel


若沒有高斯等人對質數的研究，這個19世紀的「大數據」或許只能作為一張參考表。在有了這張包含300萬以內所有質數的列表之後，高斯開始著手數它們，每次以1000為分界點分組。他找出1000以內的質數，然後再找出1000到2000之間的質數，然後是2000到3000之間，以此類推。


高斯發現，隨著數值的增高，質數出現的頻率會遵循「反對數」定律逐漸下降。雖然高斯定律沒確切地給出質數的數量，但它給出了一個非常好的估計。例如他預測了從1,000,000至1,001,000之間大約有72個質數；而正確的計數是75個，誤差值約為4％。


在高斯的第一次探索之後的一個世紀裡，他的定律在「質數定理」中得到了證明。在數值越大的質數範圍內，它的誤差百分比接近於零。作為世界七大數學難題之一的黎曼假設，也描述了高斯估算的準確程度。


質數定理和黎曼假設都得到了應有的關注和資金，但這兩者都是在早期不那麼迷人的數據分析中得到的。



現代質數之謎


現在，我們的數據集來自電腦程式而非手工切割的漏字模板，但數學家仍在努力尋找質數中的新模式。


除了2和5之外，所有質數都以數字1、3、7、9結尾。在19世紀，數學家證明了這些可能的結尾數字有著同樣的出現頻率。 換句話說，如果數100萬以內的質數，會發現大約25%的質數以1結尾，25%以3結尾，25%以7結尾，以及25%以9結尾。



○ 質數的結尾數字。除了2和5之外，所有質數都以1、3、7、9結尾。| 圖片來源：theConversation


幾年前，史丹福大學的數論學家 Robert Lemke Oliver 和 Kannan Soundararajan 在一個觀察質數和下一個質數的最後一位數字的實驗中，發現了質數的結尾數的奇異之處。例如質數23之後的下一個質數是29，它們的結尾數字分別是3和9。那麼是否在質數的結尾數中，3和9的出現要多過於3和7嗎？


○ 在1億以內的連續質數的結尾數字對的出現頻率，相同的顏色對應於相同的間隔。| 圖片來源：M.H. Weissman


數論學家預計會有一些變化，但他們的發現遠遠超出預期。質數與質數之間被不同大小的間隔分開；例如，23與29之間相差6。但是像23和29那樣的先以3再以9結尾的質數比先以7再以3結尾的質數要普遍得多，儘管這兩種質數組合的間隔都是6。


雖然數學家很快找到了合理的解釋。 但是，在研究連續質數時，數學家大多能做的僅限於數據分析和盡力說服。而數學家用以解釋某事物為何為真的黃金標準——證明，似乎仍距我們數十年之遠。


原文首發於 https://theconversation.com/why-prime-numbers-still-fascinate-mathematicians-2-300-years-later-92484?xid=PS_smithsonian，略有增刪。中文內容僅供參考，一切內容以英文原版為準。

本文轉載自公眾號「原理」（ID：principle1687）

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