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九點圓與歐拉線
上一期講過九點圓，其中涉及高線，中線等三角形中的概念。我們知道，三角形三條高線交於一點，這點叫做垂心。我們還知道，三角形三條中線也交於一點，這點叫做重點（或中心）。稱其為重心，是因為如果三角形是一塊質量分布均勻的薄板，那麼從重心處系一根繩子把三角薄板吊起來，則三角形薄板處於平衡狀態，即薄板處於水平狀態。三角形還有其他幾個心。首先說外心，它是三角形三條邊的中垂線的交點。所謂線段（這裡是邊）的中垂線，是指它上面的任意一點到線段兩端點的距離相等。所以，外心一定到三角形三個頂點的距離相等。那麼，以外心為圓心，外心到任意一個頂點的距離為半徑作一個圓，這個圓正是三角形的外接圓。所謂外心，外接圓的圓心是也。接下來還有內心（有外也有內，這麼巧）。內心是三角形三條內角平分線的交點。
本期要講述的是垂心、外心、重心三者之間的關係，這就引出歐拉線的概念。然後再講歐拉線與九點圓的關係。下圖中畫出了九點圓，當然也畫出了使它稱其為九點圓的九個點。圖中也標出了垂心H，外心W，重心G，九點圓的圓心O。順便說一下，本來外心是應該用大寫字母O來表示的（英語Out是外的意思），但因為上一期我們已用O表示了九點圓的圓心，所以這裡就用W表示外接圓（用W也說得過去，因為中文外的漢語拼音是Wai）。重心用G，是因為英語重量為Gravity。垂心用H，可能是因為高線與英語的高度Hight有關吧。另外，內心一般用大寫英文字母 I 表示，因為內即是 In 。這又讓我聯想到現在的流行語，說一個人落伍了，就說他Out了，或奧特了。說一個人很與時俱進，跟上了潮流，就說他很 In。我不太趕得上潮流，這裡有說的不對的話，請大家儘管說我Out了。好的，言歸正傳，說數學，說九點圓，說歐拉線。
上圖中紅色線段所在的直線即為歐拉線。三角形的垂線（H），外心（W），重心（G）三點正好位於一條直線上，並且，重心位於垂心和外心之間，把線段WH分成到外心與到垂心的距離之比是1：2的兩部分，即重心是線段WH的兩個三等分點中靠近外心的那個三等分點。上圖中，WG：GH=1：2。這個也不難證明，只要證明三角形A'GW與三角形AGH相似且相似比是1：2即可。首先，角GWA'=角GAH。其次，因為G是三角形ABC的重心，所以有A『G：AG=1：2。於是，再說明A』W：AH=1：2即可。這個有些難，不易想到。是這樣，仔細觀察，可以看出，W是三角形ABC的中位三角形A'B'C'的垂心，那麼，因為三角形A'B'C'與三角形ABC相似且相似比是1：2，於是，在這兩個三角形中，A'W與AＨ的比也是1：2。最終，WG：GH=1：2。當然，不能忘記說明角WGA'=角AGH，這樣才能使得這兩個角成為對頂角，從而使得W、G、H三點共線。
再觀察這個圖。即上圖所示，還有一個點O即九點圓圓心沒有提及。可以證明，九點圓心是平分由垂線和外心構成的線段，即點O是WH的中點。這個也不難證明，因為三角形PDA'（圖中天藍色區域）是直角三角形，九點圓圓心O是這個直角三角形斜邊的中點，所以，A'O=AO。可以證明三角形WA'G與三角形PHO全等。所以WO=OH。
一個三角形有麼多有趣的性質！
另外，九點圓還有一個充滿無窮魅力的性質：它與三角形的內切圓及三個旁切圓都相切！